Формулы преобразование координат точек пространства

В пространстве даны две системы координат I = ( О, е₁, е₂. е₃) и

II = ( О, е₁', е₂'^, е₃' ), О’(х_о,у_о, z_о ) _Ι, е₁’(а₁,а ₂,, а₃) _{(е1,е2, е3)} , е₂’(b₁,b₂, b₃)_{(е1,е2 е3)},

е₃'(с₁,с ₂,,с₃) _{(е1,е2 е3)}. Если любая точка плоскости М имеет в первой системе координат координаты М(х,у, z), а во второй системе координат координаты М(х’,у’, z'), то формулы, связывающие координаты точки М в первой и во второй системах координат, имеют вид

х = а₁ х’ + b₁ у’ + с₁ z' + х_о,

у = а₂ х’ + b₂ у’ + с₂ z' + у_о (*)

z = а₃ х’ + b₃ у’ + с₃ z' + z_о

Эти формулы называются формулами преобразования координат.

Отметим, что в этих формулах столбец из коэффициентов при х’- это координаты вектора е₁’, столбец из коэффициентов при у’- это координаты вектора е₂’, столбец из коэффициентов при z' - это координаты вектора е₃', а столбец из свободных членов – это координаты точки О’ в первой системе координат. Из этого следует, что определитель, составленный из коэффициентов при х’, у’, z' в формулах (*), отличен от нуля.

6.37. Написать формулы преобразования аффинной системы координат в пространстве, если даны координаты нового начала координат и новых координатных векторов в старой системе:

а) е₁'(1,0,0), е'₂(2,4,0), е'₃(-3,1, ½ ), О'(0,0,0);

б) е₁'(-1,1,0), е'₂(2,-1,0), е'₃(0,0, 5 ), О'(5,0,-2);

в) е₁'(-1,0,0), е'₂(0,1,0), е'₃(0,0, -1 ), О'(1,1,2);

г) е₁'(1,0,0), е'₂(0,1,0), е'₃(0,0, 1 ), О'(2,5,-1).

ЗАДАЧА

Дан параллелепипед АВСД А₁В₁С₁Д₁ и две системы координат

I =(А, АВ, АА₁,АС) и I I =(В, ВС, ВД, ВВ₁) а) Выяснить, существуют ли точки, имеющие одинаковые координаты в этих системах координат, б) зная координаты точки М (1,-2,3) в I системе координат, найти координаты этой точки во I I системе координат.

РЕШЕНИЕ

1. Составим формулы преобразования координат при переходе от системы координат I к системе координат I I. Для этого найдем координаты точки В в I системе координат и координаты векторов ВС, ВД, ВВ₁ в базисе {АВ, АА₁,АС}

е₁

В(1,0,0), ВС(-1,0,1), ВД(-2,0,1), ВВ₁(0,1,0).

Формулы преобразования координат имеют вид:

х = -1 х' + (-2)у' + 0z' + 1, х = - х' -2у' + 1,

у = 0 х' + 0 у' + 1z' + 0, или у = z', (*)

z = 1 х' + 1 у' + 0z' + 0, z = х' + у' .

2. Выясним, существует ли точка, имеющая одинаковые координаты в обеих системах координат, для этого в формулах (*) отбросим штрихи. Получим систему

х = - х -2у + 1

у = z

z = х + у

Эта система имеет единственное решение х = 0, у = ½ , z = ½ .

Следовательно, существует единственная точка, имеющая

одинаковые координаты и в I и во I I системах координат, это

точка N(0, ½ , ½ )

3. Найдем координаты точки М (1,-2,3)_l во I I системе

координат. для этого в формулы (*) подставим х = 1, у = -2,z = 3.

Получим систему

1 = - х' -2у' + 1

-2 = z'

3 = х' + у' Получаем х' = 6, у' = -3, z'= -2.

Следовательно, М(6, -3,-2)_{l l} .

ОТВЕТ. а) (0, ½ , ½ ), б) М(6, -3,-2)_{l l}

6.38. Диагонали куба АВСД А₁В₁С₁Д₁ пересекаются в точке О. Составить формулы преобразования координат точек при переходе от системы координат(А, АВ, АД, АА₁) к системе координат

(О, ОА, ОВ, ОС).

6.39. Дан тетраэдр ОАВС. Составить формулы преобразования координат точек при переходе от системы координат (О, ОА, ОВ, ОС) к системе координат (А, АО, АВ, АС).

6.40. Диагонали параллелепипеда АВСД А₁В₁С₁Д₁ пересекаются в точке О, а диагонали граней АДД₁А₁, АВВ₁А₁, АВСД – соответственно в точках О₁, О₂, О₃. Составить формулы преобразования координат точек при переходе от системы координат (А, АВ, АД, АА₁) к системе координат

(О, ОО₁, ОО₂, ОО₃).

6.41. Составить формулы преобразования координат точек при переходе от системы координат I = (О, е₁, е₂, е₃) к системе координат

а) (О', е₁, е₂, е₃) , где О( 3,-4,8) _I;

б) (О, е₁', е₂', е₃'), где е₁' = 4е₁ + 3е₂ -6е₃, е₂'= -е₁ + е₂, е₃' = - е₁ - е₂ -5е₃.

6.42. Могут ли следующие формулы служить формулы преобразования аффинных координат:

а) х = х' -3у' + z', б) х' = х + 1, в) х = у',

у = х' + у', у' = у – 3, у = х',

z = х' + 1, z' = z, z = х' + у' + z' + 1,

г) х = 3х' - у' + z', д) х = х' - у' + z' + 1,

у = 4х' - у' + 3, у = - х' - у' + 2z' + 2,

z = 7х' - 2у' + z' + 4, z = z' – 3.

6.43. Дан куб АВСД А₁В₁С₁Д₁, сторона которого имеет длину а. Существует ли точка, имеющая одинаковые координаты в двух системах координат (А,i, j, k) и (С, i', j', k'), где векторы i, j, k сонаправлены соответственно с векторами АВ, АД, АА₁, а векторы i', j', k' сонаправлены соответственно с векторами С₁В₁, С₁С, С₁Д₁.

6.44. В прямоугольном параллелепипеде АВСД А₁В₁С₁Д₁ АВ = АД = а, АА₁ = b. Точка М – середина ребра СС1. В системе координат (А, i, j, k) известны координаты точки Х(-10а,12а,3а). найти координаты точки Х с системе координат (М, i', j', k'), если векторы i, j, k сонаправлены соответственно с векторами АВ, АД, АА₁, а векторы i', j', k' сонаправлены соответственно с векторами СВ, СД, СС₁.