Вероятность дз_Тема1

Тема 1. Случайные события. Классическое определение вероятности. Относительная частота события. Геометрическая вероятность.

Вопросы

1. Что понимают под событием?

2. Какие события называют а) совместными; б) несовместными; в) противоположными; г) равновозможными?

3. Какое событие называется а) достоверным; б) невозможным; в) случайным?

4. Что такое полная группа событий для некоторого испытания?

5. Какие события называются элементарными?

6. В каком случае событие С называется благоприятствующим событию В?

7. Сформулировать классическое определение вероятности.

8. Перечислить основные свойства вероятности.

9. Что называют (абсолютной) относительной частотой события А?

10. Дать статистическое определение вероятности.

11. В каком случае применяют геометрическую вероятность?

12. Как определить вероятность попадания точки на отрезок (на фигуру)?

13. Сформулировать аксиоматическое определение вероятности.

Домашнее задание.

1. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность сделать выстрел на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность следующих событий:

а) сумма выпавших очков равна 7; б) сумма выпавших очков равна 8, а разность 4.

3. Какова вероятность при шести бросаниях игральной кости получить все шесть граней в таком порядке: при первом бросании одно очко, при втором – два, и т.д.?

4. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или туз? (отв.: 1/3 )

5. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость а) оказалась дублем; б) не дубль. (отв.: а)2/9; б) 4/9 )

6. На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточки и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «ЖУК»? (отв.: 1/6 )

7. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 400 рублей каждая, три книги – по сто рублей, и две книги по триста рублей. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 500 рублей. (отв.: 1/3 )

8. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом (отв.: 0,25)

9. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства случайным образом включаются два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.( отв.: 0,3)

10. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей а) нет бракованных; б) нет годных.(отв.:а) 0,65; б) 0,00005)

Относительная частота

1. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равнее относительная частота появления нестандартных деталей?

2. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

Геометрическая вероятность.

3. В окружность вписан правильный треугольник. В круг наугад ставят точку. Какова вероятность того, что она попадет в треугольник? (отв.:/4)

4. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину меньшую L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. (отв.: 2/3 )

5. Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода ( в промежутке от 12 до 13 часов). (отв.: 7/16 )

*Дополнительные задачи

1. В очередь в случайном порядке становятся четыре человека А, Б, В, Г. Считая все варианты их расположения равновозможными, определить вероятность следующих событий:

а) А будет первым в очереди;

б) Б не будет последним в очереди;

в) А будет стоять рядом с Б (до или после);

г) А будет стоять раньше Б и раньше В;

д) А будет стоять раньше Б, а В будет стоять раньше Г

2. В мешке лежат карточки с буквами А, Б, В, а также с цифрами 1,2,3,4,5 (всего 8 карточек) Их по очереди вынимают из мешка, пока не вынут все. Какова вероятность того, что буквы будут появляться в порядке алфавита, а цифры – в порядке возрастания? (расположение букв относительно цифр может быть любым).

3. Маша идет на день рождения, где будут 10 ребят и 10 девочек, включая Машу. Они садятся за круглый стол в случайном порядке. Какова вероятность, что справа от Маши будет сидеть мальчик? что оба ее соседа будут мальчики?

4. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что а) все пассажиры выйдут на четвертом этаже; б) все пассажиры выйдут одновременно; в) все пассажиры выйдут на разных этажах.

5. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

6. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимают один шар и, не глядя откладывают в сторону. После этого из урны взяли еще один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, - тоже белый.

7. В урне а белых и b черных шаров (а2). Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.