Ориентация пространства.

В векторном подпространстве Vз дан базис и три вектора

а( а₁,а₂,а₃), b(b₁,b₂,b₃), с(с₁,с₂,с₃). Векторы а, b, с компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат. равен нулю, т.е.

| а₁ а₂ а₃ |

а, b, с компланарны | b₁ b₂ b₃| = 0.

| с₁ с₂ с₃ |

В векторном подпространстве Vз даны два базиса

I = {е₁, е₂. е₃ } и II = {е₁', е₂'^, е₃' }. Известны координаты базисных векторов второго базиса в первом базисе. Определителем перехода от базиса I ={е₁, е₂. е₃ } к базису II ={е₁', е₂'^, е₃' } называется определитель ∆, составленный из координат векторов е₁^’, е₂^’ е₃' в базисе {е₁, е₂. е₃ }

Определитель перехода от базиса I к базису II будем обозначать так: I / II.

Пусть даны любые три базиса I, II, III пространств Vз. Определители перехода обладают следующими свойствами:

1°) I / II 0,

2°) I / I = 1,

3°) I / II = 1 : (II / I),

4°) (I / II) ( II / III) = I / III .

Обозначим Ω множество всех базисов Vз. Элементы Ω обозначим так: А= {а₁, а₂. а₃ }, В = { b ₁, b ₂. b₃ } и т.д.

Если в множестве Ω Ω рассмотреть бинарное отношение

ρ Ω Ω такое, что А ρВ А/В > 0, то из свойств определителей перехода следует, что бинарное отношение ρ является отношение эквивалентности, следовательно, множество всех базисов трехмерного векторного пространства Vз разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности. Таких классов эквивалентности существует два и только два. Каждый из этих двух классов эквивалентности называется ориентацией векторного пространства Vз.

Векторное подпространство Vз называется ориентированным, если зафиксирована одна из его ориентацией и названа положительной, а все базисы из неё правыми, тогда вторая ориентация называется отрицательной, а все базисы из неё левыми.

Пространство называется ориентированной, если соответствующее векторное пространство ориентировано. Тогда, если базис е₁, е₂, е₃ – правые (левый) , то и система координат (О, е₁, е₂, е₃) правая (левая).

Чтобы определить будет ли данный базис правым или левым обычно рассматривают правило правой и левой руки. Пусть базис АВ, АС, АД – правый. По вектору АВ направляем большой палец правой руки, по вектору АС направляем указательный палец и, если средней палец направлен по вектору АД, то данный правый базис соответствует правой руке. Тогда, чтобы проверить будет ли базис ОХ,ОУ,ОZ правым, по вектору ОХ направляем большой палец правой руки, по вектору ОУ направляем указательный палец и, если средней палец направлен по вектору ОZ , то базис ОХ,ОУ,ОZ- правый, если же средней палец правой руки не направлен по вектору ОZ , то базис ОХ,ОУ,ОZ- левый.

Если базис АВ, АС, АД – правый, по вектору АВ направляем большой палец левой руки, по вектору АС направляем указательный палец и, если средней палец направлен по вектору АД, то данный правый базис соответствует левой руке. Тогда, чтобы проверить будет ли базис ОХ,ОУ,ОZ правым действуем как в предыдущем случае, но используем левую руку.

6.31. Выяснить, компланарны ли векторы х, у, z, если

а) х(2,-3,1), у(4,5,0), z(10,7,1); б) х(4,-3,2), у(0,1,0), z(-3,5,7);

в) х(1,3,6), у( 1/3, 1,2), z(13, ,5); г) х(0,-15,1), у(3,13,-15),

z(1,5,-3).

ЗАДАЧА

Даны точки А(1,0,3), В(0,3,-4), С(2,1,2), Д(1,-2,5). а)Доказать, что эти точки являются вершинами тетраэдра, б) точки М и Р – середины ребер АД и ВС, выяснить к какой ориентации относится базис {ДМ, ДР, ДС}, если базис{ ВА,ВС,ВД} – левый.

РЕШЕНИЕ

а) Точки А, В, С, Д являются вершинами тетраэдра тогда и только тогда, когда векторы АВ, АС, АД не компланарны. Найдем координаты этих векторов: АВ(-1,3,-7), АС(1,1,-1), АД(0,-2,2). Эти векторы не компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, не равен нулю.

| -1 3 -7 |

| 1 1 -1 | = 8,

| 0 -2 2 |

следовательно, точка А, В, С, Д – вершины тетраэдра.

б) Первый способ.

Найдем координаты векторов ДМ, ДР, ДС в базисе { ВА,ВС,ВД}

ДМ(½, 0, -½), ДР(0, ½, -1), ДС(0,1,-1).

Теперь вычислим определитель, составленный из их координат.

| ½ 0 -½ |

| 0 ½ -1 | = > 0 .

| 0 1 -1 |

Следовательно, базисы { ВА,ВС,ВД} и {ДМ, ДР, ДС} принадлежат одной ориентации, значит базис {ДМ, ДР, ДС} –левый.

Второй способ.

Базис{ ВА,ВС,ВД} соответствует правой руке. Базис

{ДМ, ДР, ДС} тоже соответствует правой руке, Следовательно, эти базисы принадлежат одной ориентации, и т.к базис { ВА,ВС,ВД} – левый, то и базис {ДМ, ДР, ДС} – левый.

ОТВЕТ Базис {ДМ, ДР, ДС} – левый.

6.32. Проверить, лежат ли точки А, В, С, Д в одной плоскости, если

а) А(3,1,1), В(-2,1,-2), С(-3,-1,0), Д(2, 0, 1,7); б) А(1,7,8), В(3,5,6),

С(-1,4,4), Д(0,7,6); в) А(1,1,0), В(-1,2,-1), С(0,-1,0), Д(-3,-3,2); г) А(1,2,2), В(0,3,3), С(2,-5,1), Д(-1,-2,2).

6.33. Изобразите куб АВСД А₁В₁С₁Д₁. Проверьте будет ли базис АВ, АД, АА₁ соответствовать правой или левой руке.

6.34. Базис АВ, АС, АД имеет правую ориентацию. Определить ориентацию базисов: а) АВ, АС, ДА; б) ДА, ДВ, ДС;

в) ВС, ВА, ВД; г)АС, СВ, СД.

6.35. Дан параллелепипед АВСД А₁В₁С₁Д₁. Базис АА₁, АВ, АД имеет левую ориентацию. Определить ориентацию базисов:

а) ДА, ДС, ДД₁; б) С₁С, С₁Д₁, С₁В₁; в) Д₁А₁, Д₁Д, Д₁В₁;

г) ВА, ВВ₁, ВС; д) РВ, РД, АР, где Р – середина ребра АД.

6. 36. В системе координат (О, е₁, е₂, е₃ ) даны точки

А₁(-7,3,-2), А₂(0,2,1), А₃(4,-1,0), А₄(-1,0,-3). Доказать, что векторы А₁А₂, А₁А₃, А₁А₄ образуют базис, и найти ориентацию этого базиса, если базис {е₁, е₂, е₃} – правый.