6. Расчет на устойчивость

Реализованный вариант расчета на устойчивость предполагает, что распределение сил N_о известно из линейного расчета. Требуется найти значение числового параметра _о такое, чтобы при силах (_о * N_о) произошла потеря устойчивости.

Задача определения критических сил и соответствующих им форм потери устойчивости допускает следующую вариационную формулировку: найти перемещение и  0 и число _о такие, что при всех допустимых перемещениях v справедливо равенство:

(6.1)

где d(u,v ) - возможная работа сил при заданном их распределении N_o.

Пользуясь выражением (1.3) и обозначив D матрицу с элементами , получим из (6.1) задачу на собственные значения для матриц

(6.2)

Погрешность МКЭ в задаче устойчивости для критических сил и соответствующих им форм потери устойчивости пропорциональна h^ .

Решение производится методом половинного деления. Этот метод основан на том, что матрица положительно определена лишь при <₀. Отсутствие положительной определенности матрицы соответствует наличию отрицательных чисел на главной диагонали после исключений по методу Гаусса.

После определения с заданной точностью параметра ₀ форма потери устойчивости находится как собственный вектор матрицы K(λ₀) методом итерации подпространств, изложенным в п.3.

Расчет реализуется в упругой стадии. Значения сжимающих сил и напряжений в элементах схемы уже вычислены с помощью линейного процессора. При выполнении расчета на устойчивость предполагается, что эти значения выражены через критический параметр нагрузки:

где

i - номер загружения;

j - номер элемента в схеме;

P_i- суммарная нагрузка в i-том загружении;

- критическая нагрузка в i-том загружении;

- продольное усилие или напряжение в j-том элементе в i-том загружении;

- критическое продольное усилие в j-том элементе в i-том загружении;

_i - параметр нагрузки (коэффициент запаса устойчивости).

В процессе счета для каждого загружения определяются первая форма потери устойчивости и соответствующий ей коэффициент запаса.

Допускается также производить проверку устойчивости по линейным комбинациям загружений (РСН).

Если в расчете схемы присутствуют динамические загружения, то проверка устойчивости схемы для них может быть произведена только через комбинации загружений (РСН). Это связано с тем, что разложенные по формам колебаний результаты расчета на динамическое воздействие необходимо преобразовать в суммарные.

В процессе расчета общей устойчивости итерационным методом определяется значение  такое, при котором хотя бы один элемент диагонали матрицы жесткости обращается в ноль. Если i 1, то считается, что схема устойчива в данном загружении или при данной комбинации загружений.

В качестве исходных данных задаются  начальный масштабный множитель к продольным силам N_i ( по умолчанию =2) , а также точность вычислений (по умолчанию равна 0.01). Предполагается, что при i> система абсолютно устойчива.

В результате вычисляются коэффициенты запаса устойчивости _i, первая форма потери устойчивости и коэффициенты свободной длины для стержневых элементов, исходя из общей устойчивости, по следующим формулам:

(6.3)

, где:

y_ij, z_ij – коэффициенты свободной длины j-того стержня

соответственно в плоскостях X1oZ1, X1oY1

для i-того загружения;

EJ_yj, EJ_zj– изгибные жесткости j-того стержня соответственно в

плоскостях соответственно X1oZ1, X1oY1;

Nкр_ij = i*N_ij - критическое продольное усилие сжатия в j-том стержне

для i-того загружения;

_i – коэффициент запаса устойчивости для i-того загружения;

l_j - длина j-того стержня.