45. Полное приращение функции нескольких переменных

Полное приращение функции двух переменных — приращение функции, которое соответствует приращению обоих аргументов:

Полное приращение не равно сумме частных приращений.

Полное приращение функции переменных

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Полный дифференциал функции двух переменных — главная часть полного приращения функции, равная сумме произведения частной производной функции по первой переменной на приращение первого аргумента и произведения частной производной функции по второй переменной на приращение второго аргумента:

или

Полный дифференциал функции переменных:

46.Сложная функция двух переменных — промежуточные переменные которой так же являются функциями двух переменных:

Сложная функция переменных — функция, аргументы которой являются также функциями нескольких переменных: .

Теорема о частной производной сложной функции

Если функция и промежуточные переменные дифференцируемы, то частные производные сложной функции вычисляются по формулам:

Для функции переменных теорема формулируется аналогично:

,

В общем случае,

Полный дифференциал сложной функции

Рассмотрим сложную функцию .Учитывая, что

и , получаем:

. Раскрывая скобки и группируя получим:

Где выделенные части, соответственно и .

Следовательно,

Частные производные неявно заданной функции многих переменных

Если функция задана неявным образом уравнением , то частные производные функции вычисляются по формулам:

Для функции переменных аналогично:

47. Касательная плоскость

Касательная плоскость к поверхности в некоторой точке — плоскость, проходящая через данную точку и содержащая все касательные прямые к поверхности в этой точке.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке , имеет вид:

• Если поверхность задана явным образом функцией ,

то

• Если поверхность задана неявным образом

то

(в учебнике в последней сумме тоже нет)

Нормаль к поверхности

Нормаль (нормальная прямая) к поверхности в некоторой точке — прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

Уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид:

• Если поверхность задана явным образом функцией , то

• Если поверхность задана неявным образом то

Геометрический смысл полного дифференциала

Геометрически смысл полного дифференциала функции двух переменных. Рассмотрим функцию которая в точке имеет дифференциал Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной функцией в точке ( . Учитывая, что видим, что правые части этих равенств совпадают, следовательно: . Таким образом, полный дифференциал функции равен приращению аппликаты касательной плоскости при переходе от точки к точке ).

48. Частные производные высших порядков

Частная производная -го порядка — частная производная от частной производной -го порядка.

Частный случай:

Частных производных второго порядка от функции двух переменных может быть четыре:

Смешанная частная производная — частная производная второго или более высокого порядка, взятая по разным переменным.

Полные дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал второго порядка — дифференциал от дифференциала функции.

Для функции полный дифференциал второго порядка:

Полный дифференциал порядка — дифференциал от дифференциала -го порядка.

49.

50.