43. Непрерывность функции нескольких переменных

Функция нескольких переменных непрерывна в некоторой точке из своей области определения, если при стремящемся к данной точке значении аргумента стремится к нулю приращение значения функции:

Данное определение означает, что функция непрерывна в точке, если предел функции существует в этой точке и равен значению функции в этой точке.

Свойства непрерывных функций многих переменных

Непрерывность суммы функций: сумма конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.

Непрерывность разности функций: разность двух непрерывных функций является непрерывной функцией.

Непрерывность произведения функций: произведение конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.

Непрерывность частного функций: частное двух непрерывных функций (при условии, что знаменатель не равен нулю) является непрерывной функцией.

Теорема о наибольшем и наименьшем значении: непрерывная в закрытой области функция достигает в некоторых точках данной области своих наибольшего и наименьшего значений.

Теорема о промежуточных значениях: непрерывная в закрытой области функция принимает все промежуточные значения между ее наибольшим и наименьшим значениями.

Теорема о прохождении через ноль: если непрерывная в закрытой области функция принимает на границе данной области значения разных знаков, то в данной области имеется точка или линия, в которой данная функция равна нулю.

44. Частное приращение и частная производная функции нескольких переменных

Частное приращение функции двух переменных —приращение функции, которое соответствует приращению одного из аргументов. А именно:

частное приращение по аргументу

частное приращение по аргументу

Частное приращение функции переменных :

Частная производная функции двух переменных по некоторому аргументу — предел отношения частного приращения функции по данному аргументу к приращению этого аргумента, при стремлении его к нулю. А именно, частная производная функции

по аргументу

по аргументу

Частная производная функции нескольких переменных:

Обозначения частной производной функции:

Частное приращение и дифференциал функции нескольких переменных

Есть функция непрерывная в области . — внутренняя точка области , тогда

Из теоремы о связи бесконечно малой величины с пределом следует, что

Величина называется главной частью частного приращения функции в точке .

Частный дифференциал функции двух переменных по некоторому аргументу — главная часть приращения функции, равная произведению частной производной функции на приращение соответствующего аргумента. А именно:

частный дифференциал функции по аргументу

частный дифференциал функции по аргументу

Частный дифференциал функции переменных по некоторому аргументу:

Геометрический и физический смысл частной производной функции двух переменных

Геометрический смысл частной производной функции двух переменных:

Функция задает в пространстве поверхность. — точка из области определения функции. Плоскость параллельна плоскости и пересекает поверхность по линии Частная производная функции двух переменных совпадает с производной функции одной переменной по — это тангенс угла наклона касательной, параллельной в точке :

Аналогично, плоскость пересекает поверхность по линии Угол наклона касательной, параллельной в точке равен и верны равенства:

(формулы местами не перепутал, в книге так)

Физический смысл частной производной двух переменных: мгновенная скорость изменения функции при перемещении точки параллельно одной координатной оси.

Геометрический смысл частного дифференциала функции двух переменных: частный дифференциал функции по некоторой переменной равен приращению аппликаты касательной при изменении данной переменной.