- •2. Сравнение числовых рядов
- •12. Понятие ортогональной системы действительной функций. Ортогональность основной тригонометрической системы
- •13. Ортогональные системы действительных функций (определение, примеры). Разложение функции по ортогональным системам
- •14. Ряд Фурье. Представление периодической функции в виде ряда Фурье. Сходимость ряда Фурье (теорема Дирихле)
- •15. Разложение в ряд Фурье четных и не четных функций периодических функций. Разложение функций в ряд Фурье, заданной на полупериоде.
- •19. Интеграл Фурье в комплексной форме.
- •20. Теорема о существовании преобразования Фурье
- •21. Синус и косинус преобразования Фурье
- •26. Уравнение Бернулли. Его решение
- •27. Решение линейного диф-го уравнения 1го порядка методом Лагранжа
- •28. Уравнение в полных дифферен. И его решение
- •30. Линейные однородные ур-я 2-го порядка с постоянными коэ-ми. Их решение
- •31. Линейные неоднородные ур-я 2-го порядка с постоянными коэф-ми и правой частью спец. Вида
- •32. Линейные однород. Ур-ния n-го порядка
- •33. Решение линейных дифферен. Ур-ний n-го порядка с постоян коэф.
- •43. Непрерывность функции нескольких переменных
- •44. Частное приращение и частная производная функции нескольких переменных
- •45. Полное приращение функции нескольких переменных
- •47. Касательная плоскость
- •48. Частные производные высших порядков
- •51. Понятие двойного интеграла
- •52.Свойства двойного интеграла
- •53 Теоремы об оценке 2го интеграла
- •54 Техника вычисления 2го интеграла
- •55.Замена переменных в 2ом интеграле
30. Линейные однородные ур-я 2-го порядка с постоянными коэ-ми. Их решение
ay’’+by’+cy=0 a,b,c-константы
a +b +c =0 делим на
a +b +c=0 -характеристическое уравнение
если корни различные:
y(x)=
если корни мнимые:
если корни совпадают:
31. Линейные неоднородные ур-я 2-го порядка с постоянными коэф-ми и правой частью спец. Вида
)
сначала решаем однородное, потом по теоремам частное:
T1:Если у1-частное решение первого уравнения, а у0(х)-общее решение однородного, тогда решением будет их сумма, доказательство делается через производные от этой суммы(y(x)= у1+у0), подставляем и там все получается просто
Т2:Если у1–частное решение ур-я с правой частью f1, а у2аналогично для f2, то решением будет сумма
аналогично доказательству первой тупо берем производные и подставляем,раскидываем и получается верное тождество
Т3: Если правая часть ур-я (1) имеет вид
T4: Если правая часть ур-я (1) имеет вид
32. Линейные однород. Ур-ния n-го порядка
Теорема: если у1,у2,Yn – частные независимые решения первого уравнения, то общее решение есть сумма типа
Док-во:
Найдемn производных ф-ии y(x), заданных ф-й 2, если У1, У2…..-линейнонезависимы,
подставляем 3 и 2 в первое:
=0
=0 (*)
т.к. Yk(x)-частное решение первого уравнения, то
следовательно, в(*) выполняется тождество 0=0
33. Решение линейных дифферен. Ур-ний n-го порядка с постоян коэф.
Общее решение ур-я (1)
для нахождения частного решения используется метод неопределенных коэф-в
пусть
тогда
если является корнем, тогда
пусть
пусть
, i=max(n,m)
если f(x) произвольного порядка, то применяется метод вариации постоянных
если
и общее решение в виде решения однородного+ суммы решений функции(частные решения)
34
35
36. Свойство линейности
Если то .
Свойство подобия
то
Доказательство:
,
замена:
тогда
37. Свойства преобразования Лапласа: смещение изображения и запаздывание оригинала.
Смещение изображения (затухание оригинала)
Если то где
Запаздывание оригинала
Если то
38. Свойства преобразования Лапласа: дифференцирование оригинала и дифференцирование изображения.
Дифференцирование оригинала
Если и функции — оригиналы, то:
Дифференцирование изображения
Если , то
…
39.
40.
41.
42. Определение функции нескольких переменных
Функция двух переменных — правило, по которому каждой паре значений переменных и из некоторого множества соответствует определенное значение величины . Обозначение: или , где и — независимые переменные (аргументы), — зависимая переменная (функция).
Функция переменных — правило, по которому каждому набору из значений переменных из некоторого множества соответствует определенное значение величины . Обозначение: или где — независимые переменные (аргументы), — зависимая переменная (функция).
Способы задания функции двух переменных
Аналитический — с помощью формулы. Аналитическая функция двух переменных может быть задана следующими способами:
Явно:
Неявно:
Параметрически:
Табличный — задание функции с помощью таблицы значений
Область определения функции нескольких переменных
Область определения функции — множество точек, для которых определено значение функции.
Множество значений функции — совокупность значений, которые функция принимает в области определения. Данные определения справедливы как для функции двух переменных, так и для функции n переменных. -окрестность точки — множество точек, удаленных от данной точки на настояние меньшее .
Предел функции нескольких переменных
Предел функции двух переменных в некоторой точке — число такое, что для любого сколь угодно малого значения найдется такое число что для всех точек из -окрестности точки все соответств. значения функции отличаются от не более чем на : для любых существует хотя бы одно что Обозначение: или