- •2. Сравнение числовых рядов
- •12. Понятие ортогональной системы действительной функций. Ортогональность основной тригонометрической системы
- •13. Ортогональные системы действительных функций (определение, примеры). Разложение функции по ортогональным системам
- •14. Ряд Фурье. Представление периодической функции в виде ряда Фурье. Сходимость ряда Фурье (теорема Дирихле)
- •15. Разложение в ряд Фурье четных и не четных функций периодических функций. Разложение функций в ряд Фурье, заданной на полупериоде.
- •19. Интеграл Фурье в комплексной форме.
- •20. Теорема о существовании преобразования Фурье
- •21. Синус и косинус преобразования Фурье
- •26. Уравнение Бернулли. Его решение
- •27. Решение линейного диф-го уравнения 1го порядка методом Лагранжа
- •28. Уравнение в полных дифферен. И его решение
- •30. Линейные однородные ур-я 2-го порядка с постоянными коэ-ми. Их решение
- •31. Линейные неоднородные ур-я 2-го порядка с постоянными коэф-ми и правой частью спец. Вида
- •32. Линейные однород. Ур-ния n-го порядка
- •33. Решение линейных дифферен. Ур-ний n-го порядка с постоян коэф.
- •43. Непрерывность функции нескольких переменных
- •44. Частное приращение и частная производная функции нескольких переменных
- •45. Полное приращение функции нескольких переменных
- •47. Касательная плоскость
- •48. Частные производные высших порядков
- •51. Понятие двойного интеграла
- •52.Свойства двойного интеграла
- •53 Теоремы об оценке 2го интеграла
- •54 Техника вычисления 2го интеграла
- •55.Замена переменных в 2ом интеграле
12. Понятие ортогональной системы действительной функций. Ортогональность основной тригонометрической системы
Определение1. Система (множество, совокупность) функций, определенных на отрезке , называется ортогональной на этом отрезке, если при и
при , то есть .
Теорема 1. Интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна положительному периоду, не зависит от выбора отрезка интегрирования.
Действительно, пусть Т > 0 - период функции f(x), а – произвольное действительное число. Докажем, что
. По свойству аддитивности определенного интеграла
В интеграле i3 сделаем замену переменной: пусть x=t+T, тогда t=x-T, dx=dt, tв =a+T-T= a; t н = T-T = 0:
(т.к. определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования).
Получили: i3=-i1, следовательно , что и требовалось доказать.
Теорема 2. Тригонометрическая система функций ортогональна на любом отрезке длины 2π.
Учитывая утверждение теоремы 1, доказательство проведем для симметричного отрезка .
Сначала докажем ортогональность функции φ1(х)=1 ко всем остальным:
,так как при любом натуральном k функция нечетная, а отрезок интегрирования симметричен.
.
Теперь докажем ортогональность всех синусов всем косинусам:
при любых k и m N (даже при любом k = m), т.к. подынтегральная функция нечетная.
Далее докажем ортогональность косинусов с разными аргументами, т.е. при k ≠ m:
,
т.к. при любом р.
Теперь проверим ортогональность синусов с различными аргументами, т.е. при k≠m:
(см. предыдущий интеграл).
Осталось вычислить интегралы от квадратов функций системы:
Теорема доказана.
Определение 3. Функциональный ряд вида , (1)
составленный из функций тригонометрической системы с помощью действительных чисел, где называется тригонометрическим рядом, а числа его коэффициентами. Очевидно, если ряд (1) сходится и точке хо, то он сходится и в точках где , т.к. члены ряда есть 2π—периодические функции. По той же причине и сумма ряда (1), если она существует, является 2π—периодической функцией.
Заметим, что поведение тригонометрического ряда (его сходимость или расходимость в каких-то точках) полностью определяется его коэффициентами.
Ортогональность основной тригонометрической системы
Система функций , (1) называется основной тригонометрической системой. Эта система ортогональна на отрезке .
Можно показать, подсчитав интегралы вида и , что система (1) является ортогональной системой на и на любом отрезке оси OX, длиной 2l:
,
. От системы (1) можно перейти к системе
путем замены переменной: .
13. Ортогональные системы действительных функций (определение, примеры). Разложение функции по ортогональным системам
Определение
Система функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…,cosnx, sinnx называется тригонометрической.
Заметим, что все функции, входящие в систему:
φ1(х)=1, φ2(х)=cosx, φ3(х)=sinx, φ4(х)=cos2x, φ5(х)=sin2x,…
являются периодическими с общим наименьшим положительным периодом 2π.
В самом деле, φ1(х)=1—периодическая с любым, отличным от нуля периодом, функции φ2(х)=cosx и φ3(х)=sinx имеют наименьший положительный период 2π, а функции cosпx и sinпx имеют наименьший положительный период . Поэтому число Т = 2π является с одной стороны общим, а с другой стороны наименьшим положительным периодом для всех функций, входящих в систему.
Рассмотрим несколько примеров тригонометрических рядов:
1) .
Здесь . Этот ряд расходится на всей числовой прямой, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости: при п-ый член , а при не существует.
2)
Здесь . Этот ряд сходится в точках (т.к. в них ) и расходится во всех остальных точках (в них не существует).
3) .
Здесь . Этот ряд сходится на всей числовой прямой, причем абсолютно по признаку сравнения рядов с произвольными членами, т.к. .
Разложение функции по ортогональным системам
Ортогональная система функций- задача о разложении функции f (x) в ряд вида , где {jп (х)} -Ортогональная система функций Если положить формально , где {jп (х)} - нормированная Ортогональная система функций, и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на jп (х) r(х) и интегрируя от а до b, получим: (*) Коэффициенты Сп , называемые коэффициентами Фурье функции относительно системы {jn (x)}, обладают следующим экстремальным свойством: линейная форма наилучшим образом приближает в среднем эту функцию. Иными словами, средняя квадратичная ошибка с весом r(х): (*) имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же n другими линейными выражениями вида . Отсюда, в частности, получается т. н. неравенство Бесселя
Ряд с коэффициентами Сп , вычисленными по формуле (*), называется рядом Фурье функции f (x) по нормированнойОртогональная система функций {jn (x)}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f (x) своими коэффициентами Фурье. Ортогональная система функций, для которых это имеет место, называется полными, или замкнутыми. Условия замкнутости Ортогональная система функций могут быть даны в нескольких эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция f (x) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций jk (x), то есть в этом случае говорят, что ряд сходится в среднем к функции f (x)]. 2) Для всякой функции f (x), квадрат которой интегрируем относительно веса r(х), выполняется условие замкнутости Ляпунова - Стеклова: 3) Не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке [a, b ] квадратом, ортогональной ко всем функциям jn (x), n = 1, 2,....