1.Числовой ряд. Пусть мы имеем числовую последовательность , где . Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5:

называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

Знакопеременные ряды Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Знакочередующиеся ряды Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Знакопостоянные ряды Если все члены числового ряда имеют один и тот же знак, ряд называют знакопостоянным.

Конечная (частичная) сумма ряда это сумма вида где n – некоторое натур. число.

Понятие сходимости ряда Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Сумма ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть,

Абсолютная сходимость ряда Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов, то есть, сходится знакоположительный числовой ряд

Условная сходимость ряда Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится, а ряд сходится.

2. Сравнение числовых рядов

Первый признак сравнения рядов. Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех k = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Ряды-эталоны (геометр.ряд сходится q<0); ; (ряд расходится);

Пример: необходимое условие сходимости выполняется гармонический ряд

расходится, следовательно, по первому признаку сравнения исходный ряд также является расходящимся.

Второй признак сравнения. Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда , следует сходимость . Если , то из расходимости числового ряда , следует расходимость . Следствие. Если и , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость.

Пример: . В качестве ряда возьмем сходящийся ряд Найдем предел отношения k-ых членов числовых рядов: по второму признаку сравнения из сходимости числового ряда следует сходимость исходного ряда.

Третий признак сравнения. Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

3. Предельные признаки сходимости и расходимости числовых рядов Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: . При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если ., то ряд расходится. С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть, выполнение равенства . не говорит о сходимости числового ряда . К примеру, для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполняется ., а ряд расходится.

4. Знакопостоянные ряды Если все члены числового ряда имеют один и тот же знак, ряд называют знакопостоянным.

Радикальный признак сходимости Коши . - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится. Замечание. Признак Коши справедлив, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если ,то признак Коши не дает инфо о сходимости или расходимости ряда и требуется доп. исследование.

Признак сходимости Даламбера Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится. Замечание. Если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если , то признак Даламбера не дает инфо о сходимости или расходимости ряда и требуется доп. исследование

5. Интегральный признак сходимости Коши числового рядам. Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале [a;+ , где a Тогда в случае сходимости несобственного интеграла сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится. Пример. Исследуйте числовой ряд с положительными членами на сходимость. Решение. Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как =0. Рассмотрим функцию . Она положительная, непрерывная и убывающая на интервале . Функция непрерывна. Рассмотрим ф-юю на убывание. Найдем производную: . Она отрицательная на промежутке , следовательно, функция убывает на этом интервале. Таким образом, функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши.

= То есть, несобственный интеграл расходится, следовательно, расходящимся является исходный числовой ряд.

6. Знакочередующиеся числовые ряды Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Абсолютная и условная сходимость знакочередующего ряда. Проще всего исследовать знакопеременный числовой ряд на абсолютную сходимость. В этом случае берем знакоположительный ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применяем к нему подходящий достаточный признак сходимости из рассмотренных выше. Если ряд , сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся. Пример. Докажите, что знакопеременный числовой ряд абсолютно сходится/ Решение. Соответствующих знакоположительный ряд будет иметь вид . Для него выполняется необходимое условие сходимости ряда, так как . . Возьмем сходящийся знакоположительный ряд и воспользуемся вторым признаком сравнения: . Следовательно, ряд сходящийся, поэтому, исходный ряд сходится абсолютно.

Если ряд , расходится, то соответствующий знакопеременный ряд , может, либо расходится, либо сходится условно. Только признак Даламбера и радикальный признак Коши позволяют сделать вывод о расходимости знакопеременного ряда , по расходимости ряда из модулей . Ряд также расходится, если не

выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если .

Признак условной сходимости знакочередующего ряда (признак Лейбница) Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают и предел модуля общего члена ряда равен нулю при , то ряд , сходится. Пример. Определите характер сходимости знакочередующегося числового ряда Решение. Ряд из абсолютных величин членов имеет вид . Для него выполняется необходимое условие сходимости Возьмем гармонический ряд и воспользуемся вторым признаком сравнения: Таким образом, ряд из модулей - расходящийся. В свою очередь, знакочередующийся ряд сходится, так как выполняются условия признака Лейбница: последовательность монотонно убывает и Следовательно, исходный ряд условно сходящийся.

7. Степенной ряд Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида …, где x₀ − действительное число.

Интервал, радиус сходимости и область сходимости степенного ряда Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости. Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости.

Признак абсолютной сходимости Коши и Даламбера их связь с радиусом сходимости Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

Схема нахождения области сходимости ряда

1)В окрестности : если , то сумма =0, т.е ряд сходится.

2) - Должен, выполнятся необходимый признак сходимости

- Должен выполнятся признак Даламбера:

вынесем из под предела т.к там нет n. <1 сходится , расходится, =0, признак не работает. радиус сходимости

и признак Коши . Пусть , тогда возможны случаи

1.Если или или , то ряд сходится абсолютно.

2.Если , то ряд расходится.

Замечание. Всякий степенной ряд сходится при x=a. Если других точек сходимости у ряда нет, то считают, что R=0. Если степенной ряд сходится во всех точках числовой прямой, то считают, что .

8. Функциональный ряд , т.е ряд, члены которого -некоторые функции от x.При каждом фиксированном значении х= функциональный ряд становится числовым

Область сходимости. Если ряд сходится, то значение аргумента х= называется точкой сходимости ряда. Множество всех точек сходимости х функционального ряда называется его областью сходимости

Сумма функционального ряда ,

Понятие равномерной сходимости ряда Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в некотором промежутке, если, каково бы не было >0, существует такое N, не зависящее от х, что при n>Nдля всех х из данного промежутка выполняется неравенство , где

- остаток ряда.