53 Теоремы об оценке 2го интеграла
Теор1.
Если ф-ия
f(M)
интегрируема
по обл D
и f(M)≥0,
то
Док-во:
Рассмотри интегр cумму
т.к. f(M)≥0
и ∆Si≥0,
то f(Mi)≥0
Для всех
i=1….n.
Следовательно
перейдем к примеру
по свойству пределов. Теорема доказана
Теор2Если
ф-ия f(M)
и g(M)
интегрируемы
на обл D
и f(M)≤
g(M),
то
Док-во:
Т.к. f(M)≤
g(M),
то g(M)-f(M)≥0,тогда
в силу теор1
По
свойству 1 (линейности 2го интеграла)
Cледствие,
т.к. f(M)≤
| f(M)|,
то
Теор3
Если
f(M)
интегрируема
в обл D
то имеет место следующая оценка
.
Док-во
Т.к.
|
|≤|
|+|
|
для всех i=1….n
Перейдем к приделу
;
Теор4
Если m≤
f(M)≤M,
то m≤
,
где SD-площадь
обл D
Док-во:
Рассмотрим интегральную сумму
;
Перейдем
к приделу
;
Отсюда
следует
;
;
Среднее значение подинтеграл. Ф-ии f(M)
обобзначается
54 Техника вычисления 2го интеграла
Пусть дан 2ой интеграл , где D c П (c какой-то знак)
Опр1. Пусть L-прямая оп плоскости П. Будем говорить, что множество А, лежащее на прямой 2. Односвязно, если для любых точек а1 и а2, принадлежащих А, интервал (а1,а2) так же принадлежит А. В противном случае множество А-многосвязно.
Примеры:
Опр2. Пусть D-обл по плоскости П. Будем говорить, что обл D-односвязна, если для любого замкнутого контура С, лежащего в обл D, все точки, лежащие внутири контура, принадлежат обл D. В противном случае обл D-многосвязна
Примеры:
Опр3. Обл D называется односвзяной в направлениях вектора а,если множество А=LаᴖD, односвязно для прямых Lа параллельных вектору а. В противном случае обл D называется многосвязной в направлениях вектора а.
Примеры:
Замечание Если на плоскости П введена система координат Оxyz, то обл D в направлении орта I осии Ox или орта j оси Oy называется односвязной по X или односвязной по Y
Опр4 Обл D называется выпуклой, если она односвзяна в двух взаимно-ортагональных направлениях
Схема вычисления 2го интеграл:
Дан
55.Замена переменных в 2ом интеграле
Якобиан