14. Ряд Фурье. Представление периодической функции в виде ряда Фурье. Сходимость ряда Фурье (теорема Дирихле)

Определение ряда Фурье

Говорят, что функция f (x) имеет период P, если f (x + P) = f (x) для всех значений x. Пусть период функцииf (x) равен 2π. В этом случае достаточно рассмотреть поведение функции в интервале [−π, π]. 

1. Предположим, что функция f (x) с периодом 2π абсолютно интегрируема в интервале [−π, π]. При этом является конечным так называемый интеграл Дирихле:

2. Предположим также, что функция f (x) является однозначной, кусочно-непрерывной (то есть имеет конечное число точек разрыва) и кусочно-монотонной (имеет конечное число максимумов и минимумов).

Если условия 1 и 2 выполнены, то ряд Фурье для функции f (x) существует и сходится к данной функции (Смотрите об условиях сходимости также раздел Сходимость рядов Фурье).  Если x₀ − точка разрыва, то ряд Фурье сходится к значению

Ряд Фурье функции f (x) представляется в виде

где коэффициенты Фурье a₀, a_n и b_n определяются формулами

Иногда используются альтернативные формы записи для разложения в ряд Фурье. Заменяя a_n и b_n новыми переменными d_n и φ_n или d_n и θ_n , где

можно, соответственно, записать

Теорема Дирихле. Функция f(x), периодическая с периодом Т = 2l, удовлетворяющая условиям Дирихле на отрезке [-l,l], разлагается в тригонометрический ряд Фурье (53), причем:      a) в каждой точке непрерывности х функции f(x) ряд Фурье (53) сходится к значению f(x);      b) в каждой точке разрыва х_i, функции f(x) ряд Фурье (53) сходится к значению

 

15. Разложение в ряд Фурье четных и не четных функций периодических функций. Разложение функций в ряд Фурье, заданной на полупериоде.

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Разложение в ряд Фурье четной функции f (x) с периодом 2π не содержит синусов и имеет вид

где коэффициенты Фурье определяются выражениями

Аналогично, разложение в ряд Фурье нечетной функции f (x), имеющей период 2π содержит только синусы и имеет вид

где ы b_n равны

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде.

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

16

17

18. Комплексная форма ряда Фурье. Вывод

Отсюда и .

Представим и , тогда

комплексная форма

, где

Ряд Фурье в комплексной форме для функции с произвольным периодом .

, где – гармоники.

, где

Волновое число:

Амплитудный спектр:

19. Интеграл Фурье в комплексной форме.

Отсюда , где

– -спектральная плоскость .

, где

– преобразования Фурье для в комплексной форме.

20. Теорема о существовании преобразования Фурье

Если действительно функция f(x) интегрируема на ох и имеет на ней только точки конечного разрыва, то в точках непрерывности существует ее преобразование Фурье и имеет обратное преобразование Фурье.

….