10. Числовые ряды. Сумма рде и се свойства. Необходимое условие сходимости. Геометрическая прогрессия

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).Рассматриваются числовые ряды двух видоввещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам. Определение :Пусть числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида Вообще, для обозначения ряда используется символ поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.В соответствии с этим говорится о сходимости числового рядачисловой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм:числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда: Операции над рядами: Пусть заданы сходящиеся ряды и , Тогда: Их суммой называется ряд

Их произведением по Коши называется ряд где Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится. Критерий абсолютной сходимости: Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда и Где Доказательство. Если сходится то по признаку сравнения тем более сходятся и Наоборот, если сходятся и то сходится и их сумма

11. Ряды со знакопеременными членами. Абсолютная сходимость. Пришак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что 1. an+1 < an для всех n; 2. Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.

12. Ряды со знакопеременными членами. Абсолютная сходимость. Пришак Лейбница

Определение 5. Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на –1.Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.Определение 6. Числовой ряд вида u1-u2+u3-u4+…+ +(-1)n-1.un+…, где un – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом. Теорема 9. (Признак Лейбница)Если для знакочередующегося числового ряда Выполняются два условия:Члены ряда убывают по модулю u1>u2>…>un>…, о ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S2n=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2n-1-u2n).По условию u1>u2>…>u2n-1>u2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S2n возрастает с возрастанием n и S2n>0 при любом n.С другой стороны S2n=u1-[(u2-u3)+(u4-u5)+…+(u2n-2-u2n-1)+u2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и S2n>0, поэтому S2n<u1 для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S2n=S. При этом 0<S≤u1.Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S2n+1=S2n+u2n+1. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞: S2n+1= S2n+ u2n+1=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому Sn=S, то есть данный ряд сходится. Теорема доказана. Теорема 10. (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости) Пусть u1+u2+…+un+…= знакопеременный ряд и пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов │u1│+│ u2│+…+│ un │+…= │ un │. (u1+│u1│)+(u2+│u2│)+…+(un+│un│)+…= (un+│un│). (22)Очевидно, 0≤ un+│un│≤2│un│ при всех n=1, 2, … . Ряд (21) сходится по условию, поэтому сходится ряд 2│un│, тогда по признаку сравнения сходится ряд (22). Ряд (20) представляет собой разность двух сходящихся рядов (22) и (21), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.