- •2. Общее и частное решение.
- •2.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Это уравнение с разделяющимися переменными, где
- •3. Однородные уравнения
- •4. Линейные уравнения и уравнения Ьернулли.
- •5. Экономическая модель Эванса
- •6.Экономическая модель Соллоу. Золотое правило экономики
- •7. Дифференциальные уравнения второго порядка. Понижение порядка. Примеры.
- •2. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые приводятся к уравнениям первого порядка.
- •Это уравнение приводится к уравнению (n-k)-го порядка
- •8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Пространство решений. Фундаментальная система решений.
- •9. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
- •10. Числовые ряды. Сумма рде и се свойства. Необходимое условие сходимости. Геометрическая прогрессия
- •11. Ряды со знакопеременными членами. Абсолютная сходимость. Пришак Лейбница
- •12. Ряды со знакопеременными членами. Абсолютная сходимость. Пришак Лейбница
- •13. Функциональные рядЫ. При шахи Коши и Даламбсра для знакопеременных рядов.
- •14. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Формула Коши и Даламбсра для радиуса сходимости
- •15. Свойства степенных рядов. Разложение функции в ряд Тейлора
- •17.Комплексные числа.Операции над ними.
- •18. Тригонометрическая форма записи. Умножение и деление в тригонометрической форме. Формула Муавра. .
8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Пространство решений. Фундаментальная система решений.
Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
, (1)
где a,b,c - числа и .Если f(x)=0, то уравнение (1) называют однородным . В противном случае - неоднородным .Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [d,e], то для любой точки и любой пары чисел уравнение (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям
и определенное на всем отрезке [d,e].
2. Однородное уравнение.
Обозначим через SL множество решений однородного уравнения :
. (4)Cледствием предыдущей теоремы является следующая теорема.Теорема 2. Множество SL является линейным пространством функций, определенных на всей прямой и Определение. Функции y=y1(x) и y=y2(x), определенные при всех x, называются линейно-зависимыми, если C1, C2 такие , чтоC12+C22 0 и C1 y1(x) + C2y2(x) = 0 x.В противном случае функции y1 и y2 называются линейно-независимыми .Из теоремы 2 следует, что базис в пространстве решений SL состоит из двух линейно-независимых решений.Определение. Базис в пространстве решений SL называется фундаментальной системой решений (в дальнейшем ФСР).Следствие . Если y1 ,y2 есть линейно-независимые решения уравнения (4), то есть ФСР , то общее решение является линейной комбинацией y1 и y2, то есть задается формулой y = C1y1 + C2y2 .
Таким образом, решение уравнения (4) свелось к отысканию ФСР. Решение этой задачи связано с корнями квадратного трехчлена: . (5)
Определение. Многочлен (5) и уравнение . (6)называются характеристическими.
Обозначим - дискриминант уравнения (6).
Теорема 3.
1. Если и k1 , k2 есть действительные различные корни уравнения (6), то функции :
(7)
являются ФСР и есть общее решение уравнения (4).
2. Если и к есть единственный действительный корень уравнения (6), то функции :
являются ФСР и
есть общее решение (4).
3. Если , то функции:
(8)
являются ФСР и есть общее решение уравнения (4). Здесь Пример. Решить задачу Коши:
Найдем сначала общее решение уравнения (9). Для этого составим харак-теристическое уравнение Оно имеет единственный действи-тельный корень k =3. Поэтому, согласно теореме общее решение уравнения (9) имеет вид: . Подставив в это равенство начальное условие (10), получим C1= 0. Следовательно , y = C2 x e3x . Найдем производную .Отсюда и начального условия (11) найдем C2 = 2.
Ответ: y=2xe3x.