- •2. Общее и частное решение.
- •2.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Это уравнение с разделяющимися переменными, где
- •3. Однородные уравнения
- •4. Линейные уравнения и уравнения Ьернулли.
- •5. Экономическая модель Эванса
- •6.Экономическая модель Соллоу. Золотое правило экономики
- •7. Дифференциальные уравнения второго порядка. Понижение порядка. Примеры.
- •2. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые приводятся к уравнениям первого порядка.
- •Это уравнение приводится к уравнению (n-k)-го порядка
- •8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Пространство решений. Фундаментальная система решений.
- •9. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
- •10. Числовые ряды. Сумма рде и се свойства. Необходимое условие сходимости. Геометрическая прогрессия
- •11. Ряды со знакопеременными членами. Абсолютная сходимость. Пришак Лейбница
- •12. Ряды со знакопеременными членами. Абсолютная сходимость. Пришак Лейбница
- •13. Функциональные рядЫ. При шахи Коши и Даламбсра для знакопеременных рядов.
- •14. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Формула Коши и Даламбсра для радиуса сходимости
- •15. Свойства степенных рядов. Разложение функции в ряд Тейлора
- •17.Комплексные числа.Операции над ними.
- •18. Тригонометрическая форма записи. Умножение и деление в тригонометрической форме. Формула Муавра. .
7. Дифференциальные уравнения второго порядка. Понижение порядка. Примеры.
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка называют соотношение вида:
(1)
Уравнение вида
(2)называется дифференциальным уравнением второго порядка, разрешенным относительно старшей производнойЗадача Коши для дифференциального уравнения второго порядка ставится так:
(3)
(4)
Здесь - заданные числа, которые называются начальными данными.Геометрический смысл задачи Коши (1), (3), (4) состоит в нахождении решения уравнения (1), график которого проходит через данную точку и касательная к графику решения в точке имеет заданный коэффициент наклона .Теорема существования и единственности для задачи Коши (2), (3), (4) формулируется аналогично соответствующей теореме для уравнения первого порядка.Пусть есть функция трех переменных, соответствующая правой части уравнения (2)Теорема. Если функции непрерывны в некоторой области , то для любой точки задача Коши (2), (3), (4) имеет единственное решение , определенное в некоторой окрестности точки .Единственность решения понимается в том же смысле как для уравнения 1го порядка.
2. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые приводятся к уравнениям первого порядка.
Один из способов решения дифференциальных уравнений второго и высших порядков состоит в понижении порядка уравнения.Рассмотрим два типа уравнений 2го порядка, которые с помощью подходящей подстановки, приводятся к уравнениям первого порядка.
1).Уравнение вида
, (1)
не содержащее явным образом Введем функцию p=y=y(x). Тогда y=p. Подставив эти значения y и y в (1), получим уравнение 1го порядка относительно функции p:
f(p,p,x)=0 . (2)
Если из уравнения (2) удастся найти все решения p=p(x), то проинтегрировав их, найдем все решения уравнения (1).Замечание. Аналогично понижается порядок у уравнения nго порядка вида:
,
которое не содержит искомой функции y и её производных до порядка (к-1).
Это уравнение приводится к уравнению (n-k)-го порядка
с помощью замены .
Уравнение вида :
, (3)не содержащее явным образом x.
Для решения введем также функцию: (4)
Только теперь аргументом функции р будет y, то есть:p=p(y). (5)
Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим:
,
То есть . (6)
Подставив (4),(6) в (3), получим уравнение
, (7)
являющееся уравнением первого порядка относительно функции (5).Теперь для того, чтобы из решения p = p(y) уравнения (7) получить решение у=y(x) уравнения (3) нужно решить ещё одно уравнение 1го порядка: которое является уравнением с разделяющимися переменными. Замечание. Аналогично, с помощью подстановки (4)-(6) понижается порядок уравнения вида:
.
Пример 1. Решить уравнение:
.
Это уравнение не содержит y. Полагая , получим линейное уравнение 1го порядка:
. (8)
Решение его ищем по известному методу в виде: .После подстановки в (8) получим:
. (9)
Функцию подберем из уравнения: После “разделения переменных” из соотношения найдем ненулевое частное решение: . Тогда уравнение (9) примет вид
Отсюда
Проинтегрировав, получим общее решение исходного уравнения:
Пример 2. Решить задачу Коши.
В это уравнение не входит x. Порядок уравнения понизим с помощью подстановки: y’=p , где p=p(y). Тогда согласно (6), и исходное уравнение примет вид:
1. Случай: p=0. Отсюда , то есть y=C=const.2. Случай: p0 , тогда p’tg y=2p.Это уравнение с разделяющимися переменными относительно функции p=p(y).Разделим переменные: Проинтегрируем это равенство :
, где =const.