- •2. Общее и частное решение.
- •2.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Это уравнение с разделяющимися переменными, где
- •3. Однородные уравнения
- •4. Линейные уравнения и уравнения Ьернулли.
- •5. Экономическая модель Эванса
- •6.Экономическая модель Соллоу. Золотое правило экономики
- •7. Дифференциальные уравнения второго порядка. Понижение порядка. Примеры.
- •2. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые приводятся к уравнениям первого порядка.
- •Это уравнение приводится к уравнению (n-k)-го порядка
- •8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Пространство решений. Фундаментальная система решений.
- •9. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
- •10. Числовые ряды. Сумма рде и се свойства. Необходимое условие сходимости. Геометрическая прогрессия
- •11. Ряды со знакопеременными членами. Абсолютная сходимость. Пришак Лейбница
- •12. Ряды со знакопеременными членами. Абсолютная сходимость. Пришак Лейбница
- •13. Функциональные рядЫ. При шахи Коши и Даламбсра для знакопеременных рядов.
- •14. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Формула Коши и Даламбсра для радиуса сходимости
- •15. Свойства степенных рядов. Разложение функции в ряд Тейлора
- •17.Комплексные числа.Операции над ними.
- •18. Тригонометрическая форма записи. Умножение и деление в тригонометрической форме. Формула Муавра. .
4. Линейные уравнения и уравнения Ьернулли.
Рассмотрим уравнения вида
(1)Здесь функции непрерывны на промежутке .
Заметим, что при получим уравнение с разделяющимися переменными.Определение. При уравнение (1) называется линейным. При оно называется уравнением Бернулли.Уравнение (1) (и линейное и Бернулли) можно решить по следующему плану:Решение ищется в виде произведения функций
(2)Подставив эту функцию в (1), получим
Сгруппируем слагаемые слева:
(3)
Чтобы упростить это уравнение, подберем функцию так, чтобы
. (4)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть
(5)
есть какое-нибудь частное ненулевое решение уравнения (4). После подстановки этой функции в (3) получим более простое уравнение относительно неизвестной функции : (6)Если уравнение (1) линейно, то есть , то уравнение (6) можно
разрешить относительно :
В случае уравнения Бернулли, то есть при , уравнение (6) является
уравнением с разделяющимися переменными.Определив отсюда или из (6) функцию u, запишем решение в виде (2). Таким образом, решение уравнения (1) сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными (4), (6). Еще раз отметим, что мы ищем одно ненулевое частное решение уравнения (4) и все решения уравнения (6). Пример 1. Решить задачу Коши:
(7)
(8)
Уравнение (7) является линейным. Ищем общее решение уравнения (7) в виде (9)
Подставим это выражение в (7):
(10)
Подберем функцию так, чтобы
(11)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдем частное решение уравнения (11) тождественно не равное 0. Разделив переменные , получим: . Проинтегрируем это равенство: . Отсюда: При одно из частных решений есть: (12)
Подставим это выражение в (10). Учитывая (11), получим
.Следовательно, Отсюда и из (12) получим общее решение уравнения (7):
(13)
Подставив сюда начальное условие (8), получим: .
Ответ: .
Пример 2 Решить уравнение
(14)
Это уравнение Бернулли. Решаем его по тому же плану: Ищем решение в виде: . Тогда из (14) получим:
(15)
Функцию найдем из уравнения: Найдем ненулевое частное решение. Для этого "разделим" переменные:
Проинтегрируем это равенство и найдем частное ненулевое решение:
Подставим в (15) частное решение
(1 (17)Это уравнение с разделяющимися переменными относительно функции .1). - частное решение (17). При этом .2). В области, где разделим переменные и проинтегрируем:
Следовательно:
Отсюда выразим u:
Учитывая (19) найдем: .
Ответ: - общее решение; - особое решение.