17.Комплексные числа.Операции над ними.

Ко́мпле́ксные чи́сла— расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма где и вещественные числа. омплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других. Действия над комплексными числами: Сравнение

означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части). Сложение Вычитание Умножение Деление

18. Тригонометрическая форма записи. Умножение и деление в тригонометрической форме. Формула Муавра. .

Умножение и деление комплексных чисел удобнее выполнять, если эти числа заданы в тригонометрической форме. Имеют место следующие теоремы.Теорема 1. Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент — сумме их аргументов.Доказательство. Пустьz1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2). Тогдаz1 • z2 = r1 • r2 (cos φ1 + i sin φ1) (cos φ2 + i sin φ2) == r1 • r2 (cos φ1 • cos φ2 + cos φ1 • sin φ2+ i sin φ1 • cos φ2 — sin φ1• sin φ2) == r1 • r2 [(cos φ1 • cos φ2—sin φ1 • sin φ2) + i (sin φ1 • cos φ2 + cos φ1 • sin φ2)]; ноcos φ1 • cos φ2—sin φ1 • sin φ2 = cos (φ1 + φ2);sin φ1 • cos φ2 + cos φ1 • sin φ2 = sin (φ1 + φ2). Поэтомуz1z2 = r1r2 [cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)].А это и означает, что модуль произведения z1 • z2 равен произведению модулей чисел z1 и z2, а аргумент произведения — сумме аргументов чисел z1 и z2. Теорема 1 доказана.Примеры.2 (cos 130° + i sin 130°) • 3 (cos 230° + i sin 230°) = 6 (cos 360° + i sin 360°) = 6.5 (cos 47° + i sin 47°) • 4 (cos 13° + i sin 13°) = 20 (cos 60° + i sin 60°) = 20 ( 1/2 + i √3/2 ) = 10+10√3 i.Отметим, что доказанная теорема справедлива для любого числа сомножителей, то есть при любом п:r1 (cos φ1 + i sin φ1) • r2 (cos φ2 + i sin φ2) ... rn (cos φn + i sin φn) == r1r2 . . . rn [cos (φ1 + φ2 + . . . + φn) + i sin (φ1 + φ2 + . . . + φn)]В частном случае, когда все сомножители равны между собой, получаем:[r (cos φ + i sin φ) ]n = rn [cos пφ + i sin пφ ].Эта формула носит название формулы Муавра*. * М у а в р (1667—1754) — английский математик.При r =1 она принимает вид:(cos φ + i sin φ)n = cos пφ + i sin пφ.Теорема 2. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного двух не равных нулю комплексных чисел равен разности аргументов делимого и делителяДоказательство. Обозначим частное от деления комплексного числа z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1) на комплексное число z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2) =/= 0 через z = r (cos φ + i sin φ). Тогда z = z1/z2 , или z • z2 = z1. Поэтомуr (cos φ + i sin φ) • r2 (cos φ2 + i sin φ2) = r1 (cos φ1 + i sin φ1) . Производя умножение в левой части этого равенства, получаем:rr2 [cos (φ + φ2) + i sin (φ + φ2)] = r1 (cos φ1 + i sin φ1) .Модули двух равных комплексных чисел, отличных от нуля, равны, а аргументы могут отличаться лишь на угол, кратный 2π. Поэтому из последнего равенства вытекает, что rr2 = r1 ; φ + φ2 — φ1 = 2пπгде п — некоторое целое число. Следовательно,r = r1/r2, φ = φ1 — φ2 + 2пπ.Аргумент любого комплексного числа, отличного от нуля, определен лишь с точностью до угла, кратного 2π. Поэтому можно считать, что аргумент φ комплексного числа z равенφ1 — φ2Теорема доказана.