6.Экономическая модель Соллоу. Золотое правило экономики
Экономика рассматривается как единое целое (без структурных подразделений), в ней производится единственный универсальный продукт, который может потребляться как в непроизводственной сфере, так и в производственной; потребление его в производственной сфере может рассматриваться как инвестирование (с некоторой натяжкой таким “продуктом” может выступать денежная оценка всего и вся). Эта модель достаточно адекватно отражает важнейшие макроэкономические аспекты, в том числе и процесса воспроизводства ([14]).В модели Солоу экономика описывается пятью параметрами, которые зависят от времени t:
–
конечный
продукт (выраженный в денежном выражении),
– трудовые
ресурсы,
– производственные фонды,
– инвестиции в производство,
– размер непроизводственного
потребления.Конечный продукт
используется на инвестиции и
непроизводственное потребление
,
то есть
Обозначим
– доля конечного продукта, вкладываемая
в инвестиции. Тогда
Таким образом
и
есть доли инвестиций и непроизводственного
потребления в конечном продукте. Легко
видеть, что
,
Предположим,
что конечный продукт
выражается производственной функцией
Кобба – Дугласа:
,где
,
α есть положительные константы и
.
В примере 2 на странице 23 было показано,
что
равняется коэффициенту эластичности
производственной функции по фондам.Будем
считать, что прирост трудовых ресурсов
пропорционален наличным трудовым
ресурсам и длительности этого прироста
с коэффициентом пропорциональности
Пусть
есть коэффициент выбытия производственных
фондов. Тогда
При
получим
Таким образом, модель Солоу описывается
системой уравнений:
;
(6)
(7)
(8)
(10
(11)
.
(12)
Здесь
есть значения
и
в
начальный момент времени
.
Решим вначале задачу Коши (9), (10) по плану
на странице 31. 1) Приравняв к нулю правую
часть (9), получим частное решение
,
которое не удовлетворяет начальному
условию (10), поскольку
.
2) При
разделим переменные и в соответствии
с теоремой 1 на странице 31 запишем общий
интеграл уравнения (9):
=
.
Отсюда
;
;
,
где
.
При
из (10) получим
Следовательно,
.
(13)
Обозначим
- средняя фондовооруженность,
- средняя производительность труда.
Выразим
и подставим в (11):
.
Воспользовавшись (9) и сократив на
,
получим задачу Коши:
(14)
,
(15)
где
Найдем общее решение уравнения с
разделяющимися переменными (14) по плану
на странице 31. 1) Решим уравнение
Данное уравнение имеет два решения
и
,
где
(16)
Стационарное решение не удовлетворяет начальному условию (15).
Рассмотрим
стационарное решение
.
Из (13) выведем
;
Таким образом, на стационарной траектории
все основные показатели растут
экспоненциально, пропорционально
трудовым ресурсам ([14]).
2)
При
разделим переменные и напишем общий
интеграл уравнения (14):
(17)
Обозначим
(18)
Тогда
Отсюда и (17) следует
(19)
где
Равенство (19) задает общее решение
уравнения (14). Из (18), (16) следует, что
частое решение
входит
в семейство (19) при
.
Положив в (19) t = 0 и воспользовавшись (16), (18), найдем
Так
как
то
из (19) выведем,
(20)
Таким
образом, для любого начального значения
средняя фондовооруженность сходится
к стационарному значению
([14]).
Обозначим
удельное
потребление (на одного работника).
Учитывая, то что
из (8),(20) выведем
,
,
(21)
где
Обозначим
Принято считать, что чем больше удельное
потребление с,
тем общество богаче и экономика
развивается успешнее. Найдем при какой
доле инвестиций
предельное удельное потребление
достигает наибольшее значение. Для
этого найдем
. Вычислим
,
поскольку
Следовательно, на интервале
есть только одна критическая точка
Подсчитаем значения
в критической точке
и на концах отрезка
Поэтому
и этот максимум достигается при
Данное равенство представляет собой Золотое правило экономики:Чтобы экономика развивалась наиболее успешно доля инвестиций от валового продукта должна равняться коэффициенту элластичности функции Кобба-Дугласа по фондам.