5. Экономическая модель Эванса
Рассматривается
рынок одного товара.
Пусть
– соответственно спрос, предложение
и цена этого товара в момент t.
И спрос, и предложение считаются
линейными функциями цены, т.е.
– спрос с ростом цены падает, а
(
)–
предложение с ростом цены растет.
Естественно считать, что
,
то есть при нулевой цене спрос превышает
предложение ( по-другому говоря, товар
желателен).Основное предположение
состоит в том, что увеличение цены прямо
пропорционально превышению спроса над
предложением и длительности этого
превышения:
где
.
Разделив уравнение на
,
получим
.
Переходя в этом равенстве к пределу
при
,
получим дифференциальное уравнение
Подставив в это уравнение линейные
зависимости спроса и предложения от
цены, получим задачу Коши
;
.
(2)
Здесь
,
а
есть начальная цена. Легко видеть, что
(1) является уравнением с разделяющимися
переменными. Решим его по плану на стр.
31.
Из уравнения
получим стационарное решение
(3) Цена
называется равновесной. При ней спрос
и предложение равны. Действительно,
приравняем
.
Таким образом, равновесная цена
является абсциссой точки пересечения
прямых спроса и предложения
и
.
0
2)
В области, где
согласно
теореме 1 на стр. 31 общий интеграл
уравнения (1) задается равенством:
Вычислив интегралы, получим:
,
(4)
где
Формула (4) задает общее решение уравнения
(1) при
Частное решение (3) входит в семейство
(4) при
.
При
из (2), (4) выведем
.
(5)
Замечание.
Из формулы
(5) следует, что
,
поскольку
.
То есть какой бы не была начальная цена с ростом времени цена стремится к равновесной цене , при которой спрос равен предложению s. Данное замечание является основным выводом модели Эванса.
0
Легко
видеть, что функция
убывает. Поэтому, если
то
и из (5) следует, что цена
стремится к равновесной цене
убывая, а при
и цена
стремится к
возрастая
(см. рис.).