- •Ответы на вопросы по Математическому Анализу (II семестр)
- •4) Определенный интеграл Риммана.
- •10) Несобственный интеграл II-ого рода (от разрывной функции)
- •11) Теоремы сравнения.
- •12) Несобственный интеграл( общий случай)
- •13) Примеры применения определенных интегралов.
- •14) Интегралы от четных и нечетных функций, на симметричных приделах интегрирования
- •15) Гамма-функция, бета-функция:
- •16) Сходимость числового ряда.
- •17) Признак сравнения рядов.
- •18) Абсолютная сходимость
- •19) Радикальный признак сходимости Коши
- •20) Признак сходимости Деламбера.
- •21) Признак Лейбница
- •22) Интегральный признак сходимости (Коши).
- •23) Степенные ряды, теорема Абеля:
- •27) Вещественное значение ряда Фурье
- •29) Разложение четных и нечетных функций:
21) Признак Лейбница
(1)
Если последовательность абсолютных(|un|) величин монотонно убывает (u1>u2>u3>…un>…) и стремиться к нулю ( ) то ряд (1) сходится при этом сумма S ряда удовлетворяет 0<S<u1
Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2n) числового ряда:
согласно первому условию теоремы выражение в скобках всегда положительно и значит сумм S2n>0 и возрастает с возрастанием номера 2n с другой стороны последовательность S2n можно переписать так:
легко видеть что S2n<u1 таким образом последовательность S2, S4, S6, …, S2n, … возрастает и ограничена сверху, т.е. имеет придел , причем 0<S2n<u1 рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2n+1) очевидно что S2n+1=S2n+u2n+1 следовательно ( по второму условию теоремы)
И так: при четном и нечетном n следовательно ряд (1) сходится причем 0<S<u1/чтд
Замечание Исследование знакочередующегося ряда с отрицательным первым членом сводится к исследованию ряда (1) путём умножения каждого члена исходного ряда на -1.
22) Интегральный признак сходимости (Коши).
Если члены знакоположительного ряда (2) могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1;+∞) функции f(x) так, что u1=f(1), u2=f(2), …, un=f(n), …, то если сходится (расходится) интеграл сходится, то сходится(расходится) и ряд (2)
Доказательство:
р ассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), основанием которой служит отрезок оси Ox от x=1 до x=n, строим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки[1;2], [2;3] … [n-1;n] … Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:
Или т.е.
Случай когда несобственный интеграл =A> сходится, то получаем так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху числом (A+u1), то по признаку существования придела имеет придел следовательно ряд сходится.
Случай когда несобственный интеграл =+∞ и интегралы неограниченно возрастают при учитывая что получается что при т.е. ряд расходится.
Замечание: вместо интеграла можно брать где k >1
23) Степенные ряды, теорема Абеля:
1)
- функциональный ряд. Множество значений x, при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
- сходится при lxl<1 – область сходимости;
- - сходится при x<0 – область сходимости;
2)Ряд вида - (1) - степенной ряд
, - компл.значное число
Теорема Абеля:
Если ряд (1) сходится при х=х1, то он сходится абсолютно и при любом значении х2 , удовлетворяя неравенству (т.е. ближе к х0 или к х1) при любом х2.
Док-во: - разделим и умножим на
(Причем - огранич.,т.к. сходится и общий член стремится к нулю.) < = M
ряд сходится.
Если расходится ряд расходится при х= : (ближе к х0 чем к х3)
Областью сходимости степенного ряда является интервал <R. R – радиус сходимости степенного ряда.
Основные свойства степенных рядов: 1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R;R).
2. Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и R2, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2.
3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда S(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+…при –R<x<R выполняется равенство S’(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn+…
4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда S(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+… при
–R<a<x<R выполняется равенство
Ряды S’(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn+… и имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.
24) Ряд Тейлора (ex, sinx, cosx, (1+x)a, ln(1+x))
Степенные ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать внутри интервала сходимости.
,
,
,
,
25, 26) ряд Фурье, Ортогональность системы ф-ции , Ряд Фурье в комплексной форме.
Ряд Фурье:
Из алгебры:
- любое линейное пространство (но попарно перпендикулярны)
(коэффиценты Фурье)
(обобщенный ряд Фурье для f)
Ортогональность системы фунции :
(*)
Ряд Фурье в комплексной форме:
для комплексного значения
- если представить, то получится комплексно сопряженное
(пределение скалярного произведения.)
Надо доказать, что скалярное произведение любых 2-х функций = 0, то есть они попарно перпендикулярны.
n, m- натуральные числа
l- конкретное заданное число в [-l;l]- (*) будут попарно перпендикулярны.
Запишем для какой-либо ф-ии ряд Фурье:
-сумма ряда
- ряд Фурье
Пусть функция f(x) имеет 2l и кусочно непрерывна (на любом конечном интервале имеет не более чем конечное число точек разрыва), кусочно монотонна, тогда имеет место равенство: