Ответы на вопросы по Математическому Анализу (II семестр)

1)Непрерывность. Пусть функция y=f(x) определена в точке x₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x₀, если существует придел в этой точке и он равен значению функции в этой точке т.е.

Функция y=f(x) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала

Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке x=a непрерывна справа( ), а в точке x=b непрерывна слева( ).

2) Производная. Производной функции y=f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента когда приращения аргумента стремится к нулю.

Геометрический смысл: производная это тангенс угла на клона касательной к кривой.

3) Неопределенный интеграл. Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x)

f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Геометрический смысл: Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых y=F(x)+C (каждому числовому значению C соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называют интегральной кривой.

Свойства:

1. дифференциал от непрерывного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

5. Инвариантность формулы интегрирования. Если , то и - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

4) Определенный интеграл Риммана.

Д ана функция f(x) на отрезке [a,b], a<b.

Разобьем её на элементарные участки.

a=x₀<x₁<x₂<x₃<…<x_n=b

Є(x_i-1, x_i), Δx_i=(x_i-x_i-1), составим интегральную сумму

(Максимальная длина промежутка стремиться к нулю).

Если существует конечный придел S независящий, ни от способа разбиения промежутка ни от выбора точек x,такой придел называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a,b](область интегрирования) т.е.

Теорема Коши(существование определенного интеграла):

Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то определенный интеграл существует.

Свойства:

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

2. Определенный интеграл с одинаковыми приделами интегрирования равен нулю.

3. Для любого действительного числа с:

4.

Геометрический смысл: Определенный интеграл от неотрицательной функции числено равен площади криволинейной тропеции.

5) Формула Ньютона-Лейбница

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) - какая-либо ее первообразная на [a;b](F’(x)=f(x)), то иемеет место формула:

6) Теорема о среднем.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка с Є[a;b] такая, что

7) Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).

Необходимо найти интеграл: сделаем подстановку тогда

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде тогда

8) Метод интегрирования по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x)- функции имеющие непрерывные производные тогда d(uv)=udv+vdu интегрируя это равенство получаем:

Несобственный интеграл- определенный интегралом непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования(I-ого рода)или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющий на нём бесконечный разрыв.

9) Несобственные интегралы 1-ого рода (с бесконечными промежутком интегрирования)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a;+∞] если существует конечный придел то его называют несобственным интегралом первого рода и записывают как: .

Если = то говорят что интеграл сходится, если же придела не существует либо он бесконечен то интеграл расходится.

Аналогично определяется интеграл =

Несобственный интеграл с двумя бесконечными формулами определяется формулой:

= +

Признаки сходимости:

1. Признак сравнения. Если на промежутке [a;+∞] непрерывные функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию , nто из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость

2. Если существует придел (f(x)>0 и g(x)>0), то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.