17) Признак сравнения рядов.

Пусть даны два знакоположительных ряда :

и

Если для всех n выполняется неравенство

То из сходимости второго ряда следует сходимость первого, из расходимости первого следует расходимость второго.

Придельный признак сравнения: Если существует придел =A (0<A<∞) то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Теорема сравнения рядов:

1. Рассмотрим 2 ряда:

(1) и (2)

(хотя бы начиная с некоторого номера)

Если сходится (2), то сходится (1)

Док-во:

Пусть (2) сходится

( монотонно возрастающ. Последовательность, огранич сверху и имеет конечный предел)

Сущ. кон. (1) сходится

(если расходится (1), то расходится и (2))

2)

, то (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно и ведут себя одинаково)

(Если =конечн числу, то разность между ними есть беск малое)

(2) сх. сх. ,

Значит сходится (1)

Замечание: если , то начиная с какого-нибудь места ( ), если = , то ( ), см Теорему (1)

18) Абсолютная сходимость

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся если сам он сходится, а ряд составленный из модулей его членов расходится.

Свойства абсолютно сходящегося ряда:

1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный, из него перестановкой членов, также сходится, и имеет туже сумм S, что и исходный ряд (теорема Дрихле)

2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S₁ и S₂ можно складывать(вычитать) почленно. В результате получится абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S₁+S₂ (S₁-S₂)

3. Под произведением двух рядов u₁+u₂+… и v₁+v₂+… понимают ряд вида

(u₁v₁)+(u₁v₂+u₂v₁)+(u₁v₃+u₂v₂+u₃v₁)+…+(u₁v_n+u₂v_n-1+…+u_nv₁)+…

Произведение двух абсолютно сходящихся радов с суммами S₁ и S₂ есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S₁*S₂

*(хз надо ли) Путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд( теорема Римиана)

(Кароче) действия над знакопеременными рядами нельзя производить не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установление Абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов заменяя всюду общий член ряда его модулем.

19) Радикальный признак сходимости Коши

Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный придел =l тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1 при l=1 ничего про сходимость ряда сказать нельзя.

Доказательство:

Если l>1 имеем тогда при не стремиться к нулю след-но ряд расходится т.к. не удовлетворяет необходимому признаку.

Если l<1 то при т.е. что по признаку сравнения означает что ряд сходится.

20) Признак сходимости Деламбера.

Если существует конечный или бесконечный придел тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1 при l=1 ничего про сходимость ряда сказать нельзя.

Доказательство:

при l>1 имеем: u_n бесконечно возрастает а не стремится к нулю, что не удовлетворяет необходимому признаку сходимости и ряд расходится.

при l<1 имеем: т.е. следовательно => т.е. каждый член исходного ряда меньше соответствующего члена геометрической прогрессии что по признаку сравнения так как геометрическая прогрессия сходится то сходится и исходный ряд.