- •Ответы на вопросы по Математическому Анализу (II семестр)
- •4) Определенный интеграл Риммана.
- •10) Несобственный интеграл II-ого рода (от разрывной функции)
- •11) Теоремы сравнения.
- •12) Несобственный интеграл( общий случай)
- •13) Примеры применения определенных интегралов.
- •14) Интегралы от четных и нечетных функций, на симметричных приделах интегрирования
- •15) Гамма-функция, бета-функция:
- •16) Сходимость числового ряда.
- •17) Признак сравнения рядов.
- •18) Абсолютная сходимость
- •19) Радикальный признак сходимости Коши
- •20) Признак сходимости Деламбера.
- •21) Признак Лейбница
- •22) Интегральный признак сходимости (Коши).
- •23) Степенные ряды, теорема Абеля:
- •27) Вещественное значение ряда Фурье
- •29) Разложение четных и нечетных функций:
10) Несобственный интеграл II-ого рода (от разрывной функции)
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a;b) и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный придел то его называют несобственным интегралом первого рода и записывают как: т.е. =
Если придел существует, то интеграл сходится, если не существует или бесконечен, то расходится.
Аналогично если функция терпит разрыв в точке x=a то полагают = Если же функция терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a;b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:
Признаки сходимости:
1. Пусть на промежутке [a;b) функция f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию из сходимости вытекает сходимость , а из расходимости расходимость
2. Пусть на промежутке [a;b) функция f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный разрыв. Если существует придел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
11) Теоремы сравнения.
(1)
, f и g непрерывны в [a,b], за исключ т С
Если сх (1), то сх и (2)
(1) (2)
(2) расх, то и (1) расх
(2)
Если , то (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно
12) Несобственный интеграл( общий случай)
Точки -точки разрыва f(x)
Для того, чтобы сходился этот интеграл, необходимо, чтобы сходились:
Тот интеграл равен сумме интегралов.
13) Примеры применения определенных интегралов.
В ычисление площадей плоских фигур S= или S= , доказывается легко по определению определенного интеграла. Площадь плоской фигуры ограниченной двумя функциями как на рисунке ищется по формуле
S= - =
Д оказывается легко площадь искомой фигуры можно получить путём вычитания из площади трапеции образованной верхней функцией, площади трапеции образованной нижней функцией.
S=
Если кривая задана параметрически
В полярных координатах площадь криволинейного сектора S=
Вычисление длины дуги плоской кривой
Прямоугольные координаты: Под длиной дуги AB принимается придел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего её звена стремиться к нулю.
Если заданно параметрически то
Полярные координаты:
Объем тела:
Объем тела вращения:
14) Интегралы от четных и нечетных функций, на симметричных приделах интегрирования
Если f(x) четная функция от f(-x)=f(x). Так как , а
Т.е.
Если f(x) нечетная функция то f(-x)=-f(x) Так как , а
Т.е.
15) Гамма-функция, бета-функция:
1) Гамма-функция – функция вида (р>0, если р – комплексное число, то Rep>0)
При p=1:
Г(n+1)= (где n – натуральное число)
2) Бета-функция q,p>0
B(p,q)=B(q,p)
; ; ; ; ; ;
16) Сходимость числового ряда.
Числовой ряд: где u1 u2 …un… члены ряда, un общий член ряда сумма первых n членов ряда, называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается
Sn=u1+u2+…+un, если существует конечный придел S= последовательности частичных сумм ряда, то этот придел называют суммой ряда и говорят что ряд сходится. Записывают S= , если не существует или то ряд называют расходящимся.
Необходимый признак сходимости: если ряд сходится, то его общий член un стремиться к нулю.
Док-во. Пусть ряд сходиться и = S тогда = S (при n и (n-1) стремящихся к бесконечности). Учитывая что un= - при n>1 получаем: