8.Числовые хар-ки случайной величины. 4

Математическое ожидание:

На практике часто полное описание случайной величины не слишком важно, достаточно знать нек. параметры. Их называют числовыми характеристиками. Наиболее важная – мат. ожидание или её среднее значение (М(Х))

xi	X1 – Xn
pi	P1 - Pn

Дисперсия случайной величины:

Дисперсия характ. Разброс значений СВ около своего среднего значения (показатель рассеивания)

Дисперсия – мат. ожидание от квадрата отклонения СВ от своего мат. ожидания

;где

Среднее квадратичное отклонение:

Пример: и т.д.

9.Биномиальный закон распределения.

Говорят, что СВ распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …,n а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

0 - P_n(0), 1 – P_n(1), m – P_n(m), n – P_n(n)

; ; ; ; ;

В (1) положим t=1

; ; ; ;

;

10.Распределение Пуассона. Равномерное распределение.

СВ распределена по закону Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, 3,…, m,…,n, а соответсвующие вероятности по формуле Бернулли.

Равномерное распределение. 5

Непрерывная СВ распределена равномерно, если её плотность распределения вероятности имеет вид:

;

11. Показательное или экспоненциальное распределение.

12. Нормальный закон распределения. Числовые 6 характеристики.

Непрерывная случ. величина распред. по нормальному з-ну, если плотность распределения или

13. Ф-ция Лапласа и ее связь с интегр. ф-цией нормального распределения.

(1)

Осн. св-ва ф-ции Лапласа.

1. Т. к. ­­— непрерывна, то интеграл (1) существует при любых х;

2. , то Ф(х) явл. Возрастающей;

3. Функция Ф(х) — нечетная;

4. Ф(0)=0.

½

Вероятность попадания в интервал длиной в ест 7 практически достоверное событие.

14.Многомерные случайные величины(св)

Р ассмотрим двумерную СВ. Законом распределения наз-я соотношение, связывающее значение, которое принимает СВ с соответствующими вероятностями.

x x₁ x_{2………….}x_n

y

y₁ P₁₁ P₁₂ ……P_1N

y₂ P₂₁ P₂₂ ……P_2N

y_m P_m1 P_m2 ……P_mn

x x₁ x_2……….. ……x_n

y y₁ y_2……….. ……y_m

; i=1…n; j=1..m.

Интегральная ф-ия распределения СВ.

_{F(x,y)=P(X<x,Y<y);}

_{F(x1,x2,….,xn)=P(X1<x1,X2<x2,…,Xn<xn);}

_{Основные св-ва интегральной ф-ии:}

_{1. Значение ф-ии 0<F(x,y)<=1;}

_{2.Функция неубывающая по любому из элементов;}

_{3. Предельное соотношение}

; ; ; .

Дифференциальная ф-ия распределения СВ.

P(x<X<x+∆x, y<Y<y+∆y)=F(x+∆x, y+∆y)-F(x, y+∆y)-(F(x+∆x,y)-F(x,y))=

_{Основные св-ва :}

_{1. F(x,y)= ;}

_{2.Условие нормировки}

_{3. Диффер. Ф-ия неотрицательна f(x,y)>=0}

Числовые характеристики ДСВ.

_{Корреляционный момент двумерной СВ}

_{Теорема: корреляционный момент 2-ух независимых СВ x и y равен 0.}

_{Док-во: если независимы x,y , то независимы x-M(x) и y-M(y). По св-ву мат. ожидания Коэффициент корреляции: .}