31Нормальное распределение с-мы 2-х св

f(x,y)=1/(2πδ_xδ_y√(1-r²_xy))*

e^(–1/(2√(1-r²_xy))[(x-a_x)²/δ²_x+(y-a_y)²/δ²_y-2r_xy(x-a_x)(y-a_y)/δ_xδ_y])

при r_xy=0

f(x,y)=1/(2πδ_xδ_y)*e^(–[(x-a_x)²/δ²_x+

(y-a_y)²/δ²_y])

Т. Если с-ма СВ подчиняется нормальному з-ну распределения, то из некоррелированности с-мы следует незав-ть ее составляющих и наоборот.

Док-во:

а) Если СВ некоррелир-мы, то r_xy=0

f(x,y)=1/√[(2π)δ_x]*e^[–(x-a_x)²/(2δ²_x)] *1/√[(2π)δ_y]*e^[–(y-a_y)²/(2δ²_y)]=f₁(x)*f₂(y), ч.т.д.

б) Если СВ независимы

f₁(x)*f₂(y)= 1/√[(2π)δ_x]*e^[–(x-a_x)²/(2δ²_x)] *1/√[(2π)δ_y]*e^[–(y-a_y)²/(2δ²_y)]=1/(2πδ_xδ_y)*e^(–[(x-a_x)²/δ²_x+(y-a_y)²/δ²_y]=f(x,y) при r_xy=0, т.е. СВ некоррел.

З-н Релея:

Если положить a_x=a_y=0 и δ_x=δ_y=δ, то

f(x,y)=1/(2πδ²)*e^[–(x²+y²)/(2δ²)]

x²+y²=z², f(z)=1/(2πδ²)*e^[–z²/(2δ²)]

f(z)={z/(2πδ²)*e^[–z²/(2δ²)], z>0; 0, z≤0}

F(z)= {1- e^[–z²/(2δ²)], z>0; 0, z≤0}