10Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности

|W-p|<ε

-ε<W-p<ε

-ε<m/n-p<ε

P(|W-p|<ε)=P(|m/n-p|<ε)=P(-ε<m/n-p<ε)

По интергральной Т. Лапласа

P_n(m₁,m₂)=Ф(x₂)- Ф(x₁), где x₁=(m₁-np)/ √(npq) x₂=(m₂-np)/ √(npq) =>

P(-ε√(n/(pq)){=x₁}<(m-np)/√(npq){=x}<ε√(n/(pq)){=x₂})=

Ф(ε√(n/(pq)))-Ф(-ε√(n/(pq)))=

2Ф(ε√(n/(pq)))=P(|m/n-p|<ε)

Н-р, p=0,75 => q=0,25

n=1000 ε=0,001

P(|W-p|<ε)–?

P(|W-p|<ε)=P(|W-0,75|<0,001)=

2Ф(0,001√(1000/(0,75∙0,25))=2Ф(0,073)=

2∙0,0279=0,0558

11Случайная величина

СВ–величина, к. в р-те опыта примет то или иное значение, но какое именно заранее не известно.

СВ наз. дискретной, если её значения изолированы. Непрерывной – значения заполняют некоторую область (интервал)

Закон распределения СВ

З-ном распределения дискр. СВ наз. зависимость между возможными значениями и соответствующими им вероятностями.

Виды распределения СВ:

1)табличный

x	x1	x2	…	xk
p	p1	p2	…	pk

2)многоугольник распределения

3)аналитический закон: F(x)=P(X<x), где X–всё множество значений, x – конкретные значение из этого мн-ва

12Интегральная ф-ия распределения

– вероятность того, что СВ X примет значение какого-то значения х, и обозначается F(x)

P(X,x)=F(x)

Св-ва:

1) F(x)≥0 (док-во из определения)

2)F(x₂)≥F(x₁), при x₂≥x₁

3)F(∞)=1 F(-∞)=0

4)P(a<x<b)=F(b)-F(a)

5)a<x<b F(x)=

{0, x<a;

{1,x>b;

6)0≤F(x)≤1

Док-ва:

2)и 4) X<x₂=X<x₁+x₁<X<x₂{x₂-x₁}

P(X<x₂)=P(X<x₁)+P(x₁<X<x₂)

F(x₂)=F(x₁)+ P(x₁<X<x₂)

F(x₂)-F(x₁)≥0, ч.т.д.

3)F(-∞) – невозможное событие => =0

F(∞) – достоверное событие => =1

5) т.к. асе возможные знач-я лежат в интервале (a;b), 22 при x€(-∞;a) F(x)=0; а при x€(b; ∞) F(x)=1, т.к. ф-ия возрастает по 2-му св-ву, а по 6-му ограничена единицей.

Н-р, F(x)={0, x<1; {(x-1)²/4, 1≤x≤3;{1,x>3

Н-р,

X	1	2	3	4
P	0.1	0.2	0.4	0.3

F(x)={0;x<1;{0,1; 1≤x<2; {0,3; 2≤x<3;{0,7; 3≤x<4;{1; 4≤x

13Дифференциальная ф-ия распределения вероятностей св (её плотность)

— первая производная от интегральной ф-ии распределения (подходит для непрер. величин).

f(x)=F′(x)

т.к. lim_∆x→∞(F(x+∆x)-F(x))/∆x=F′(x)=(P(X<x+∆x)-P(X<x))/∆x

Т.е. f(x) равна отношению приращению вероятности на отрезке, т.е. её плотность

Св-ва:

1) f(x)≥0, т.к. F(x)↑

2)_-∞∫^∞f(x)dx=1, т.к. F(∞)-F(-∞)=1-0=1

3)F(x)= _-∞∫^xf(x)dx, (вытекает из определения и св-ва №2)

4)P(a<x<b)= _a∫^bf(x)dx=F(b)-F(a)

14Числовые хар-ки св

З-н распределения СВ полностью хар-ет последнюю, однако не всегда он известен. Бывает удобным узнать 1)ср. знач, около котор, группируется СВ Х;2)разброс значений около ср. величины и т.д.

Хар-ки, выражающие в сжатой форме наиболее сущ-ные особенности распределения СВ Х, наз. числовыми характеристиками СВ Х:

1)мат. ожидание СВ Х(М[x], M_x)

a)мат. ожид. дискретной СВ Х – сумма про-дений всех её возможных зн-ний на их вероятность (М(х))

М(х)=(x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n)/(p₁+p₂+…+p_n=1)= x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n=_i=1∑ⁿx_ip_i=M(x)

Вероятностный смысл M(x):

Пусть

x1	x2	…	xk
m1	m2	…	mk

m_k – число появления случайной величины в одном испытании => x‾=x_ср=(x₁m₁+x₂m₂+…+x_km_k)/k=x₁∙m₁/k+x₂∙m₂/k+…+x_k∙m_k/k=x₁ω₁+x₂ω₂+

…+x_kω_k=>ω_k≈ρ_k=>мат. ожидание приближенно равно ср. ариф-му наблюдаемых зн-ний СВ Х(вероятностный смысл).

Механический смысл M(x)

Если p₁,p₂,…,p_n–массы,

x₁,x₂,…,x_n–координаты этих масс, то учитывая, что ∑p_i=1 x_c=_i=1∑ⁿx_ip_i/∑p_i=M(x), где х_с–абсцисса центра тяжести.

Св-ва:

1)M(C)=C, где С=const

Док-во: M(C)=(Cp₁+Cp₂+..+Cp_n)/∑p_i=C∑p_i/∑p_i=C

2)M(Cx)=C∙M(x) док-во аналогично

3)M(x∙y)=M(x)∙M(y), где x и y – независимые СВ

Док-во:

x	x1	x2		y	y1	y­2
p	p1	p2		q	q1	q2

XY	X1Y1	X1Y2	X­2Y1	X2Y2
P	p1q1	p1q2	p2q1	p2q2

M(xy)=x₁y₁∙p₁q₁+ x₁y₂∙p₁q₂+ x₂y₁∙p₂q₁+ x₂y₂∙p₂q₂=(x₁p₁+x₂p₂)(y₁q₁+y₂q₂)=M(x)∙M(y)

Следствие: M(x∙y∙z)=M(x)M(y)M(z), т.к. M((x∙y)∙z)

4)M(x+y)=M(x)+M(y)

Док-во: аналогично

Мат. ожидание числа появление событий в n независимых испытаниях

Т. M(x) числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом из них: M(x)=n∙p

Док-во:

Пусть X – число появления события А в n независимых испытаниях

X=X₁+X₂+…+X_n

M(X)=M(X₁)+M(X₂)+…+M(X_n)

M(x)=_-∞∫^∞x∙f(x)dx

Вероятность появления события в каждом равно p, в n независимых испытаниях pn => M(x)=pn, ч.т.д.