- •1. Определение вероятности. 1
- •2. Условная вероятность. Независимое событие. Формула умножения вероятности.
- •4.Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Формула Пуассона.
- •Формула Пуассона
- •5.Наивероятнейшее число наступления события.
- •6. Локальн теорема и интегральная теорема Муавр- 3
- •7. Св. Функции распределения и их свойства.
- •8.Числовые хар-ки случайной величины. 4
- •9.Биномиальный закон распределения.
- •10.Распределение Пуассона. Равномерное распределение.
- •11. Показательное или экспоненциальное распределение.
- •12. Нормальный закон распределения. Числовые 6 характеристики.
- •14.Многомерные случайные величины(св)
- •15.Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.
- •16. Т.Чебышева. Т.Бернули. 8
- •17. Теорема Ляпунова:
- •Элементы математической статистики Генеральная выборочная совокупность
- •Повторная и бесповторная выборка
- •Репрезентативная выборка
- •Статистическое распределение выборки
- •Методы построения точечных оценок
- •Билет №1 10
- •Билет №2
- •Билет №3
- •Билет №4
- •Билет № 5
- •Билет 6.
- •Билет 7
- •Билет 8
- •Билет 9.
- •Билет 10.
- •Билет 11.
- •Билет 12.
- •Билет № 13
- •Билет 14.
- •Билет 15. 16
- •Билет 16.
- •Билет 17.
- •Билет 18.
- •Билет 19.
- •Билет 20. 18
- •Билет 27.
- •Билет 28.
- •1.Теория вероятности
- •3 Т. «Сложения вероятности несовместных событий 20
- •5Формула полной вероятности
- •6.Вероятность наступления хотя бы 1-го события
- •10Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности
- •11Случайная величина
- •12Интегральная ф-ия распределения
- •13Дифференциальная ф-ия распределения вероятностей св (её плотность)
- •14Числовые хар-ки св
- •15Дисперсия св (дискретной)
- •16Среднеквадратическое отклонение св х –
- •17Моменты св х:
- •18Важнейшие з-ны распределения вероятностей cв:
- •21Т.Чебышева
- •22Т. Ляпунова
- •26Вероятность попадания случайной точки в полосу
- •29Числовые хар-ки 2-мерной св (с-мы св):
- •31Нормальное распределение с-мы 2-х св
3 Т. «Сложения вероятности несовместных событий 20
P(A+B)=(m1+m2)/n=m1/n+m2/n=
P(A)+P(B)=P(A+B)
{ A – m1
{B –m2 =>A+B – m1+m2
Т. «Умножения вероятностей зависимых событий»
Условная вероятность PB(A) события A, когда событие B произошло – вероятность события A при условии, что B имело место => произведение 2-х зависимых событий равно произведению одного из них на условную вероятность второго.
P(AB)=P(B)∙PB(A)=P(A)∙PA(B)
Д ок-во:
m1 – A
m2 – B
m – AB
n – вся область
P(AB)=m/n∙m1/m1=m1/n∙m/m1=P(A) ∙PA(B)
P(AB)=m/n∙m2/m2=m2/n∙m/m2=P(B) ∙PB(B), ч.т.д.
Если события независимые, то PA(B)=P(B)
Следствие1: Если события A и B независимые, то P(AB)=P(A)∙P(B)
Док-во: см. выше
Следствие2: Если сущ. k зависимых событий, то вероятность их совместного наступления, то вероятность их произведения равна вероятности 1-го из них на условные вероятности остальных при условии, при условии, что предыдущие события имели место.
P(ABC)=P[(AB)C]=P(AB)∙PAB(C)=P(A)∙PA(B)∙PAB(C)=>
P(AB…KM)=
P(A)∙PA(B)∙PAB(C)…PA…K(M)
Н-р, P1=0,9 P2=0,95
P(AB)=P(A) ∙P(B)=0,9∙0,95
Т. «Сложения вероятностей 2-х совместных событий»
Вероятность суммы 2-х совм. событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∙B)
A+B=A+B-AB
A+B=AA¯+BB¯+AB =>P(A+B)=P(AA¯)+P(BB¯)+P(AB)
{A=AA¯+AB
{B=BB¯+AB =>
{AA¯=A-AB
{BB¯=B-AB=>
{P(AA¯)=P(A)-P(AB)
{P(BB¯)=P(B)-P(AB)
P(A+B)=P(AA¯)+P(BB¯)+P(AB)=
P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)+P(AB)= P(A)+P(B)-P(AB), ч.т.д.
Н-р, P1=0,9 P2=0,95
P(A+B)=0,9+0,95-0,9*0,95=0,995
5Формула полной вероятности
События, независимые в совокупности – такие события, среди к. любое одно не зависит от остальных
B1,B2,…Bn – независимые в совокупности
Событие A наступает, когда наступает одно из Bi
A=B1A+B2A+…+BnA
P(A)=P(B1A)+P(B2A)+…+P(BnA)=
P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A)+…+ P(Bn)PBn(A) – ф-ла полной вероятности
Н-р, всего 10 станков. из них
A – 5 шт. P(A)=0,9
B – 3 шт. P(B)=0,8
С – 2 шт. P(C)=0,95
P(A1)=0,5∙0,9+0,3∙0,8+0,2∙0,95=0,88
Hi H1,…H2,…,Hk; A,B
P(AB)=P(A)∙PA(B)=P(B)∙PB(A)
PA(B)=P(B)∙PB(A)/P(A)
PA(Hi)=P(Hi)∙PHi(A)/i=1∑kP(Hi)PHi(A) –формула Байеса =>
PA(H1)= P(H1)∙PH1(A)/( P(H1)PH1(A)+ P(H2)PH2(A)+…+ P(Hk)PHk(A))
Н-р, прибор состоит из 2-х узлов: A и B.
PA=0,8 PB=0,85 C- прибор не работает
PC(A) –?
{H0– AB P(H0)=0,8∙0,85=0,68
{H1 – A¯B P(H1)=0,2∙0,85=0,17
{H2 – AB¯ P(H2)=0,8∙0,15=0,12
{H3 – A¯B¯ P(H3)=0,2∙0,15=0,03
6.Вероятность наступления хотя бы 1-го события
Пусть A – наступление 1-го из событий A1,A2,…,Ak
A+A¯= Ω
P(A)+P(A¯)=1
P(A)=1-P(A¯1,A¯2,…,A¯k)=1-P(A1¯)∙P(A2¯)…P(Ak¯)
q – вероятность противоположного P(A) события
q=1-q1q2…qk=1-qk, при q1=q2=…=qk=q
Т. Вероятность наступления хотя бы одного из событий, являющихся независимыми в совокупности, равна единице без произведения вероятности противоположных (док-во см. выше)
Н-р,
P1=0,9 P2=0,95 P3=0,85
P(A)1-0,1∙0,05∙0,15=0.99925
7
Схема Бернулли –схема, когда в р-те опыта происходит одно, или др. событие
Pn(m) – n –кол-во испытаний m – кол-во появления события
Н-р, A – p; A¯ –q
1) n=3 P3(2)=3p2q=C32p2q
2) P4(2)=6p2q2=C42p2q2
Pn(m)=Cnmpmqn-m –ф-ла Бернулли (ф-ла бинома)
(p+q)n=pn+npn-1q+…+Cnkpn-kqk+…+qn=1
Н-р, p=0,3
P7(3)=C73∙0,33∙0,74=0,227
Н-р, p<0,1
n=10000
m=100
Pn(m)=Cnmpmqn-m
np=λ p= λ/n
Pn(m)=n(n-1)(n-2)...[n-(m-1)]/m!∙(λ/n)m(1-λ/n)n-m=(1-1/n)(1-21 2/n)…(1-(m-1)/n)∙1/m!∙ λm(1-λ/n)-m переходя к пределу получаем, что Pn(m)=λ‑me-λ/m! –ф-ла Пуассона (для больших n), т.к. limn→∞(1-λ/n)n=e-λ
Н-р, n=1000 p=0,04 m=48 q=0,96
λ=1000∙0,96=960
P1000(48)=96048∙e-960/48!
8
Т. «Муавра-Лапласа». Если вероятность наступление события A –p, постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что в n испытаниях событие произойдёт m раз, м. ≈ посчитать по ф-ле:
φ(x)=1/ √(2π)∙e-x*x/2
Pn(m)≈ φ(x)/ √(npq), где x=(m-np)/ √(npq) – локальная ф-ла Лапласа
Т. «Интегральная т. Лапласа». Если вероятность наступление события A –p, постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что в n испытаниях событие произойдёт от m1 до m2 раз, м. ≈ посчитать по ф-ле:
Pn(m1,m2)≈ 1/ √(2π)x1∫x2 e-x*x/2dx, где x1=(m1-np)/ √(npq) x2=(m2-np)/ √(npq)
Φ(x)=1/√ (2π)∙ 0∫x e-t*t/2dt – ф-ия Лапласа
Ф(-x)=-Ф(x)
Pn(m1,m2)≈ 1/ √(2π)(x1∫0 e-t*t/2dt+ 0∫x2 e-t*t/2dt=Ф(x2)-Ф(x1)=Pn(m1,m2)
Н-р, P(A)=0,8
n=1000,m1=700,m2=760
x1=(700-1000∙0,8)/√(1000∙0,8∙0,2)=-7,9
x2=(760-1000∙0,8)/√(1000∙0,8∙0,2)=-3,16
P1000(700,760)=Ф(7,9)-Ф(3,16)=0,5-0,49=0,01
9
Наивероятнейшее число появления события
n,p Пусть m0– и есть искомое число
p(m0-1)≤p(m0) ≥p(m0+1)
Cnm0-1∙pm0-1∙qn-(m0-1)<Cnm0∙pm0∙qn-m0
q<(n-(m0-1))/m0∙p
m0q<(n-(m0-1))p
m0q<np-m0p+p
m0<np+p
np-q<m0<np+p
Для др. случаю анологично