Билет 27.

5) Дискретная случайная величина X задана законом распределения

x	0,3	0,6
p	0,2	0,8

Используя неравенство Чебышева, оценит вероятность того, что | X-M(X)|<0,2.

Неравенство Чебышева:

Найдем мат. ожидание и дисперсию: М(Х) = =0,3*0,2+0,6*0,8 = 0,54;

М(Х²) = =0,09*0,2+0,36*0,8 = 0,306;D(X) = М(Х²)–(М(Х))² =0,306–(0,54)²=0,0144.

Подставим значения: .

Билет 28.

5) Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной СВ X соответственно равно 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (20,30).

М(Х)=20; σ=5; Х€(150;250). Плотность нормального распределения:

, где а – мат. ожидание.

Вероятность, что Х примет значение, принадлежащее интервалу:

19

Подставим значения:

Ответ: 0,4772.

6) Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию СВ z=2x+3y, Если известно, что D(x)=2, D(y)=6.

Так как и для независимых СВ , то

1.Теория вероятности

зависимости:

1)детерминистические (в виде мат. уравнений)

2)вероятностные

Опыт – наблюдение какого-нибудь явления, при наличии определенного комплекса условий и действий. При повторении опыта этот комплекс должен сохраняться.

Результат опыта – событие.

Явление – это событие.

События:

1)достоверное(событие, к. в р-те опыта обязательно произойдёт)

2)невозможное(при проведении опыта заведомо не произойдёт)

3)случайное(в р-те опыта м. произойти, а м. и не произойти)

Теория вероятности – матем. наука, к. занимается изучением массовых случайных явлений.

События: A,B,C,D…

Действия над случайными событиями:

1 ) A+B

2 )A∙B

3)AB=BA

4)противопоставление (A и A¯) A+A¯=Ω

Ω – достоверное событие

A – случайное

Ø – невозможное

События:

1) несовместные – события, такие, что появление 1-го из них исключает появление 2-го.

2) совместные – не исключает

a) независимые – при проведении опыта появление одного из них не зависит от появления 2-го.

b) зависимые – зависит от появления 2-го.

I) простые (элем-ные) – события, к. не м.б. разложены на ещё более простые

1)единственно возможное – при проведении опыта м. произойти только это событие;

2) равновозможные – вероятности появления события равны;

2

Полная группа/сумма событий – события, к. при проведении опыта явл. несовместными и единственно возможными (филос.). Вероятность события – объективная возможность появления события.

Н-р, в ящике 25 деталей, из них 20 окр. и 5 неокраш. A – вынутые окраш., B – вынутые неокр.

(классич) Вероятность события A (P(A)) – отношение P(A)=m/n, где m – число благоприятных исходов испытания, n – неблагоприятных+благ-х (всевозможных).

P(A)=20/25=0,8 P(B)=5/25=0,2

(статис) N – кол-во опытов; A произошло M раз (M≤N)

M/N – относительная частота появления события

A – отношение числа событий к числу опытов.

Вероятность события – относит. частота этого события при N→∞.

Геометрическая вероятность – отношение меры одной фигуры к мере другой

P (A)=mesE/mesD 0≤P(A) ≤1

Соединение – множество любых объектов.

Н-р, (a,b,c,d)

Перестановки – такие соединения, которые отличаются только порядком. Кол-во этих перестановок равно P_n=n!

Размещения– соединения, к. отличаются др. от друга элементами или их порядком A_mⁿ=m(m-1)(m-2)…(m-(n-1)). Н-р, A₄²=4*3=12

Сочетания – соединения, к. отличаются друг от друга элементами

C_mⁿ=A_mⁿ/P_n=(m!/n!(m-n)!)

Урновая схема для вычисления вероятностей

Пусть в ящике (урне) нах. N шаров, из них M красных, => (N-M) – зелёных. Из урны вынимают n шаров. Найти вероятность того, что из них m красных (событие A)

P(A)=C_M^m∙C_N-M^n-m/C_Nⁿ

Н-р, N=20, M=16, n=8, m=6

P(A)=C₁₆⁶∙C₄²/C₂₀⁸=

16! ∙4! ∙20!/(6! ∙10! ∙2! ∙2! ∙8!)=7∙8∙11/(5∙17∙19)