28. Математическое ожидание (мож) числа появления события в одном испытании – словесная формулировка, доказательство. Вероятностный смысл мож – словесная формулировка, доказательство, два замечания.

Математическое ожидание дискретной случайной величины. Математическим ожиданием дискретной слу­чайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности. Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Вероятностный смысл математического ожидания. произведено «n» испытаний, в которых случайная величина Х приняла m₁ раз значение x_1, m₂ раз значение x₂, …, m_k раз значение x_k, причём m₁+ m₂+…+ m_k = n. Тогда сума всех значений, приятых Х, равна x₁ m₁+ x₂ m₂+….+ x_k m_{k. Найдем среднее арифм. Х}

Допустим, что число испытаний «n» достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероят­ности появления события Заменив в соотношении(**)

Правая часть этого приближенного равенства есть М(Х). Вероятностный смысл:мож приближенно равно среднему арифмети­ческому наблюдаемых значений случайной величины.Замечание 1. Легко сообразить, что мож больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значе­ний. В этом смысле математическое ожидание называют центром распреде­ления.

мож есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы—их вероятностям.Замечание 2. Происхождение термина «математическое ожи­дание» связано с начальным периодом возникновения теории вероят­ностей, ограничива­лась азартными играми.

29. Первое и второе свойства МОЖ: МОЖ постоянной величины; МОЖ случайной величины с постоянным множителем (словесная формулировка, мат. запись, доказательство, замечание для первого и 2 замечания для второго свойства).

Свойство 1. Математическое ожидание по­стоянной величины равно самой постоянной: постоян­ную С как дискретную случайную величину, имеет одно возможное значение С с вероятностью р = 1. Следовательно. Замечание 1. Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х как дискретную случайную СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения X; вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений X, т.е. Сх_i = p_i . Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак математического ожидания: Доказательство. Пусть случайная величина Х задана законом распределения вероятностей: Учитывая Замечание 1, напишем закон распределения случайной величины СХ:

Мож св СХ: Итак, Замечание 2. две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие воз­можные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин назы­вают взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины. Замечание 3. Определим произведение независимых случай­ных величин Х и У как случайную величину XY. Вероятности возможных значе­ний произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей, т.е. P(x_iy_i)= P(x_i) P(y_i)