3. Виды случайных событий: зависимые и независимые, достоверные и невозможные, равновозможные, противоположные – их примеры.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в данном испытании. Например: если в коробке

белые пуговицы, то извлечение из коробки белой пуговицы – событие достоверное. Невозможным  называется  событие, которое никогда не произойдет в данном испытании. Например: если в коробке белые пуговицы, то извлечение черной пуговицы – событие невозможное. Случайным называется событие, которое может как произойти, так и не произойти в данном испытании. Например, появление герба или реверса при бросании монеты – события случайные. Совместные  (совместимые) события – это события, для которых наступление одного из них  не исключает возможности наступления других в данном испытании, т.е. они могут появиться вместе. Несовместные  (несовместимые) события  - это события, для которых наступления одного из них  исключает наступление других в одном и том же испытании, т.е. они не могут появиться вместе. Например, получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок “отлично”, “хорошо”,  “удовлетворительно” – события несовместные, а получение этих же оценок на экзамене по трем дисциплинам – события совместные. Равновозможные  события  - это события, для которых ни одно из них не является более возможным, чем другие, в данном испытании. Единственно возможные  события – это события, если при испытании обязательно наступит хотя бы одно из них. Например, события, состоящие  в том, что в семье из двух детей:   - “два мальчика”,   - “две девочки”,   -  “один мальчик и одна девочка” – являются единственно возможными. Несколько событий образуют  полную группу,  если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий. Два события, образующие полную группу, называются  противоположными событиями.  Событие,  противоположное событию  , обозначают  .

 

4. Понятие вероятности события. Понятие элементарного и благоприятствующего события. Классическое определение вероятности, формула её вычисления, свойства данного определения вероятности и их доказательство. Основные недостатки классического определения вероятности. Аксиомы, предложенные академиком А.Н. Колмогоровым, в отношении определений случайного события и его вероятности.

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число и назовают вероятностью события.Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события. На основании опыта мы считаем более вероятными те события, которые происходят чаще; менее вероятными — те события, которые происходят реже; мало вероятными—те, которые почти ни­когда не происходят. Таким образом, понятие вероятности события в самой своей основе связано с опытным, практическим понятием частоты события. Вероятность—одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют клас­сическим. Вероятность есть число, характеризующее степень воз­можности появления события.

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу называют вероятностью события А и обозначают через . (классическое) Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. где m—число элементарных исходов, благоприятствую­щих А; п—число всех возможных элементарных исходов испытания. Элементарные исходы не­совместны, равновозможны и образуют полную группу. Из классического определения вероятности вытекают следующие её свойства:Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.В этом случае m = n, следовательно Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.В этом случае m = 0, следовательно, Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и еди­ницей.В этом случае , значит, , следовательно: Итак, вероятность любого события удовлетворяет двой­ному неравенству Замечание 1. Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из

Получено классическое определение вероятности. Замечание 2. Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятно­сти. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым, неопре­деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Приведем аксиомы, определяющие вероятность:1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицатель­ное действительное число Р (А). Это число называется вероятностью события А. 2. Вероятность достоверного события равна единице: 3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несов­местных событий равна сумме вероятностей этих событий. Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем. ??? Классическое определение вероятности предпо­лагает, что число элементарных исходов испытания ко­нечно. На практике же весьма часто встречаются испы­тания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность Классического определения. Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, пред­полагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного мате­риала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко.

5. Понятие относительной частоты события и особенность её по отношению к вероятности, формула её вычисления, основное свойство относительной частоты события, примеры вычисления относительных частот. Статистическое определение вероятности, его недостаток и свойства статистической вероятности.

О тносительная частота принадлежит к основным понятиям теории вероятностей. Относительной частотой события называют отноше­ние числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А опре­деляется формулой где т — число появлений события, п — общее число испы­таний.Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действитель­ности; определение же относительной частоты предпола­гает, что испытания были произведены фактически. Вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту—после опыта. Пример I. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Отно­сительная частота появления нестандартных деталей Пример 2. По цели произвели 24 выстрела, причем было зареги­стрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели: Длительные наблюдения показали, что если в одина­ковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости - в различных опытах относитель­ная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого по­стоянного числа. Это постоянное число есть вероятность появления события. Пример 3. По данным шведской статистики, относительная час­тота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется сле­дующими числами (числа расположены в порядке следования меся­цев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0.482; 0,473 Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек. Статистические данные различных стран дают при­мерно то же значение относительной частоты. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность. Наряду с классическим опреде­лением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение вероятности: в качестве ста­тистической вероятности события принимают относи­тельную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистиче­скую вероятность события. Легко проверить, что свойства вероятности, вытекаю­щие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности. 1).Действи­тельно, если событие достоверно, то т = п и относитель­ная частота т. е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице.2). Если событие невозможно, то m = 0 и, следовательно, относительная частота0/0=0,т. е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.3). т. е. статистическая вероятность любого события заклю­чена между нулем и единицей. Для существования статистической вероятности собы­тия А требуется: а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает; б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испыта­ний. Недостатком статистического определения является - неоднозначность статистической вероятности. Так, в при­веденном примере, в качестве вероятности события можно принять не только 0.4, но и 0,39; 0,41 и т. д.