37. Плотность распределения случайной величины: определение, мат.Запись, 2 свойства (словесная формулировка, математическая запись, доказательство). Примеры кривых распределения случайных величин.

Непрерывную слу­чайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют диф­ференциальной функцией). .Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию - первую производную от функции распределения : Т.е. функция распре­деления является первообразной для плотности распре­деления, для описания распределения вероятно­стей дсв плотность распре­деления неприменима. Свойства плотности распределения. Свойство 1. Плотность распределения—не­отрицательная функция:

Доказательство. Функция распределения — не­убывающая функция, следовательно, ее производная

функция неотрицательная. Геометрически (что точ­ки, принадлежащие гра­фику плотности распреде­ления, расположены либо над осью Ох, либо на этой оси) График плотности распределения называют кривой распределения.

Рис.1. Примеры кривых распределения (нормального, равномерного и экспоненциального законов распределения)

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ∞ до + ∞ равен единице:

Д оказательство.Несобственный интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу ( ). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице. Геометрически это означает, что вся площадь криво­линейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то Пример. Плотность распределения случайной величины Х задана:

Н айти постоянный параметр а.

Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию

Поэтому потребуем, чтобы выполнялось равенство Отсюда

Найдем неопределенный интеграл: Вычислим несобственный интеграл: Таким образом, искомый параметр

37. Взаимосвязь функции и плотности распределения (математическая запись, доказательство), вероятностный смысл плотности распределения (словесная формулировка, доказательство, геометрическое пояснение).

Зная плотность распределения f (x), можно найти функцию распределения F (x) по формуле

Действительно, мы обозначили через F (x) вероятность того, что случайная величина примет значение, мень­шее x. т. е.

Т аким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения может быть найдена плотность распределения, а именно:

Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Построить график найденной функции.

И так, искомая функция распределения