25. Распределение Пуассона для дискретной случайной величины (дсв): постановка задачи, условия применения, вывод аналитического выражения.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений со­бытия в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же п велико, то пользуются асимптотической фор­мулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (Р≤0,1). В этих случаях (п велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: про­изведение пр сохраняет постоянное значение, а именно пр=λ. неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления, интересующей нас вероятности: но т.к. из формул комбинаторики известно, что число размещений при этом . Тогда можно записать:

дено лишь приближенное значение отыскиваемой вероят­ности, что поскольку произведение пр сохраняет постоянное значение, то при , вероятность Причём

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (п велико) и редких (р мало) событий. Замечание. Имеются специальные таблицы, пользуясь кото­рыми можно найти Pn(к), зная k и λ.Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изде­лий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того. что на базу прибудут 3 негодных изделия.

26. Геометрическое распределение дискретной случайной величины (дсв): постановка задачи, условия применения, вывод аналитического выражения, причина данного названия распределения.

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события Аравна р(0<р<1)ианалогично вероятн.непоявления. если собы­тие А появилось в к-м испытании, то в предшествующих k—1 испытаниях оно не появлялось.Обозначим через Х дискретную случайную величину — число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натур.числа х1=1…Пусть в первых к-1 испыт.соб.А не наступило, а в к-ом появилось. Вероятн. этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий, Получим прогресию : р,qp,q2p(квадрат),…qk-1p…(**) распределение (*) называют геометри­ческим. Легко убедиться, что ряд (**) сходится и сумма его равна единице. Действительно, сумма ряда (**) Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р== 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.Решение. По условию, р==0.6, q=0,4. k=3. Искомая вероят­ность по формуле (*.)

27. Понятие и необходимость использования числовых характеристик случайной величины. Понятие математического ожидания (МОЖ) дискретной случайной величины (ДСВ), развёрнутая и свёрнутая запись формулы по вычислению МОЖ ДСВ. Замечание к определению МОЖ.

закон распределения пол­ностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен Иногда выгоднее пользоваться числами (обобщёнными) - такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных относится мож. Мож, приближенно равно среднему значению случайной вели­чины. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Математическим ожиданием дискретной слу­чайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности.

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Замечание. Из определения следует, что мож дсв есть неслучайная (постоянная) величина. Пример Решение. М (Х) = 3.0,1 +5.0,6+2.0,3==3,9. математическое ожидание числа появлений собы­тия в одном испытании равно вероятности этого собы­тия.