21. Интегральная теорема Лапласа: условия её применения, словесная формулировка, математическая запись теоремы, вывод формулы с использованием функции Лапласа, основные два свойства функции Лапласа.

производится «п» испы­таний. в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р(0<р<1).Как вычислить вероятность Рn(к1,к2)того, что соб.А появится в n испытаниях не менее к1 и не более к2 раз. Теорема.Если вероятность «р» наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то веротн. Рn(к1,к2) того, что соб.А появится в n испытаниях от к1 до к2 раз, приближ. Равна определенному интегралу.

при решении задач, требующих применения интеграль­ной теоремы Лапласа, пользуются специальнымитабли-

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение(*)так:

Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от k₁. до k₂ раз ,

Приведем примеры, иллюстрирующие применение ин­тегральной теоремы Лапласа. Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р=0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно ото­бранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей. Решение. По условию, р==0,2; q=0,8;n==400; k₁=70;K₂₌100 . Замечание. Обозначим через т число появлений события А при п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна и равна р. Если число т изме-

ральную теорему Лапласа можно записать и так: Эта форма записи будет использоваться далее.

22. Понятие случайной величины (св), правила обозначения св и возможных значений св. Понятие дискретной и непрерывной св, их примеры.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значе­ние, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожден­ных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, ..., 100.Будем далее обозначать случайные величины пропис­ными буквами X, Y, Z, а их возможные значения—соот­ветствующими строчными буквами х, у, гможно заключить о целесообразно­сти различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные вели­чины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.Дискретной (прерывной) называют случайную вели­чину, которая принимает отдельные, изолированные воз­можные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возмож­ных значений непрерывной случайной величины беско­нечно.Замечание. Настоящее определение непрерывной случайной величины не является точным. Более строгое определение будет дано позднее.

23. Понятие закона распределения дискретной случайной величины (дсв), способы задания закона дсв и их особенности, примеры способов задания законов дсв.

случайные величины могут иметь одинако­вые перечни возможных значений, а их вероятности— различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналити­чески (в виде формулы) и графически.При табличном задании закона распределения дискрет­ной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая—их вероятности: сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд р₁ +р₂+••• сходится и его сумма равна единице.имПример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгры­вается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины Х—стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета. Решение. Напишем возможные значения X: X₁= 50, х₂= 1, X₃==0. Вероятности этих возможных значений таковы: p₁==0,01, р₂ == 0,1, Рз = 1 - (P₁ + Р₂) = 0.89.Напишем искомый закон распределения:Х 50 10 О р 0,01 0,1 0,89 Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.Графически : в прямоугольной системе координат строят точки (Xi ,. Pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником, распре­деления.

24. Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ): постановка задачи, условия применения, вывод аналитического выражения, табличный способ задания, причина данного названия распределения.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероят­ность непоявления q =1—р). в качестве дискретной случайной величины Х - число появлений со­бытия А в этих испытаниях. найти закон распреде­ления величины X.

этих возможных значений, для чего достаточно восполь­зоваться формулой Бернулли: Формула (*) и является аналитическим выражением искомого закона распределения.Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «бино­миальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона: Т.о, первый член разложения рⁿ опреде­ляет вероятность наступления рассматриваемого события

событие не появится ни разу.Напишем биномиальный закон в виде таблицы: Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х—числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления <герба» в каждом бросании возможных значений по формуле Бернулли:

Напишем искомый закон распределения: