17. Теорема о формуле полной вероятности: её условие применения, словесная формулировка, математическая запись, её доказательство.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁ ,В_{2 ,} ... , Вn (гипотез), которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий (Р(В_i) и условные вероятности Р_В1(А), Р_В2(А),… Р_Вn(А) события А. Как найти вероятность события А?.Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несо­вместных событий B₁ B₂, ...,Вп образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероят­ность события А:

«формула полной вероятности». Доказательство. появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В₁А, В₂А_, В₃А,….., В_ПА. Пользуясь теоремой сложе­ния. Для несовместных событий получим По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

получим формулу полной вероятности

Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго—0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора)—стандартная.Решение. Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна».Деталь может быть извлечена , либо из первого набора (событие В₁), либо из второго (событие В₂).Вероятность того. что деталь вынута из первого набора.Р(В₁)=1/2. Вероятность того, что деталь вынута из второго набора.Р(В₂)=1/2.

Искомая вероятность

18. Понятие гипотез. Постановка задачи и вывод формул Бейеса. Что позволяют формулы Бейса?

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, В₃,…. В_n,образующих полную группу. Поскольку заранее неиз­вестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Вероятность появления события А опреде­ляется по формуле полной вероятности

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились вероятности гипотез. будем искать условные вероятности

О тсюда Заменив здесь Р (А) по формуле (*)

условная вероятность любой гипотезы В_i (i = 1, 2, …, n) может быть вычислена по формуле:

Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как ста­новится известным результат испытания , в итоге кото­рого появилось событие А Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Веро­ятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму—0,4. Вероятность того, что годная деталь будет приз­нана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым—0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер. Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предполо­жения (гипотезы):1) деталь проверил первый контролер (гипотеза В₁); 2) деталь проверил второй контролер (гипотеза B₂). Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по Формуле Бейеса:

По условию задачи имеем:

Искомая вероятность

Как видно, до испытания вероятность гипотезы В₁ равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала рав­ной 0,59. Таким образом, использование формулы Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.