6. Понятие комбинаторики, её основные определения и формулы, примеры основных понятий комбинаторики. Правила суммы и произведения комбинаторики.

Комбинаторика раздел математики, который изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно со­ставить из элементов, безразлично какой природы, задан­ного конечного множества. При непосредственном вычис­лении вероятностей часто используют формулы комбина­торики. Перестановками ( ) называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возмож­ных перестановок: где n!=1 2 3 .. п. Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0!=1. Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз? Решение. Искомое число трехзначных чисел Р3=3!=1 2 3=6. Размещениями ( )называют комбинации, составленные из n различных элементов по т элементов, которые от­личаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений: Пример 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых no 2? Решение. Искомое число сигналов Сочетаниями ( ) называют комбинации, составленные из « n » различных элементов по « т » элементов, которые отли­чаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний: Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей? Решение. Искомое число способов Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством Замечание. Выше предполагалось, что все n элементов раз­личны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют во другим формулам. При решении задач комбинаторики используют сле­дующие правила: Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами. Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n спо­собами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана тп способами.

7. Понятие суммы и произведения двух и нескольких событий, иллюстрация суммы и произведения двух и трёх несовместных событий. Пример записи сложного события с помощью операций суммы и произведения простых событий. Четыре важных следствия понятий суммы и произведения событий, их иллюстрация.

8. Теорема сложения вероятностей для двух несовместных событий, её условия и доказательство, следствие для нескольких попарно несовместных событий – его доказательство. Примеры применения данной теоремы для двух событий.

9. Теорема сложения вероятностей событий, образующих полную группу – её условия и доказательство, пример её применения.

10. Понятие противоположных событий, теорема сложения вероятностей противоположных событий, её доказательство, два замечания данной теоремы. Примеры применения данной теоремы и её замечаний.

11. Принцип практической невозможности маловероятных событий, понятие уровня значимости, интервалы их значений, следствие данного принципа.

12. Понятие зависимого и независимого события, их примеры. Понятия условной вероятности события, варианты её записи, примеры её вычисления. Общая формула вычисления условной вероятности.

Событие А называется независимым от события В, если вероят­ность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.Событие А называется зависимым от события В, если вероят­ность события А меняется в зависимости от того, произошло собы­тие В или нет.Рассмотрим примеры. 1) Опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события: А — появление герба на первой монете, В — появление герба на второй монете.В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет; событие А н е з а в и с и м о от собы­тия В. 2) В урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события: А—появление белого шара у 1-го лица, В — появление белого шара у 2-го лица. Вероятность события А до того, как известно что-либо о событии В, равна 2/3. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной 1/2, из чего заключаем, что событие А зависит от события В. Вероятность события вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В) или Р_В(А). Для условий последнего примера Условие независимости события А от события В можно записать в виде: а условие зависимости—в виде: Другое определение условной вероятности: Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероят­ность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

Этот же результат можно получить по формуле

Действительно, вероятность появления белого шара при первом ис­пытании

Искомая условная вероятность (*) Общее определение условной вероятности: Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равнаР_А (В)=Р(АВ)/Р(А) (Р(А)>0).