21

Вопросы для подготовки к зачёту 21.06.2012 г. По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» (гр.Соэ 111 - 2012 год) Теоретическая часть

1. Цель изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». «Понятие предмета «теория вероятностей» и случайного явления (примеры случайных явлений). Какие возможности даёт человечеству изучение случайных явлений. Краткая история возникновения и развития теории вероятностей.

Целью изучения дисциплины является формирование у студентов знаний об основных понятиях теории вероятностей, случайных величинах, их законах распределениях, об основах математической статистики, которые необходимы для методически правильного применения методов теории вероятностей и математической статистики при решении различных финансовых и экономических задач.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая законо­мерности в случайных явлениях.

Случайное явление — это такое явление, которое при неоднократном вос­произведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Примеры:

- Производится стрельба из орудия, установленного под задан­ным углом к горизонту

- Формирование и обработка плановых и запущенных производственных заказов на предприятии.

- Затраты предприятия на процесс производства производимой продукции в различные интервалы времени (в месяц, в квартал, в течение года).

- Бюджетное и финансовое планирование работы предприятия.

В природе нет ни одного физиче­ского явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Цель всех вероятностных методов иссле­дования заключается в том, чтобы, , обратиться непосред­ственно к законам, управляющим массами случайных явлений (процессов). Изуче­ние этих законов целенаправленно влиять на ход случайных явлений. Вероятностный, или статистический, метод в науке является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явле­ние с учетом присущих ему элементов случайности.

Краткая историческая справка. Первые работы, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и дру­гие в XVI—XVII вв.). В работах этих учёных постепенно сформировались понятия «Вероятность», «Событие», «Частота» и др. Эти учёные решали первые задачи теории вероятностей – обшей теории страхования, учёт заболеваемости населения, смертности, статистика насчастных случаев. Следующий этап развития связан с именем Якоба Бернулли (1654—1705). Доказанная им теорема «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов. «При достаточно большом числе опытов, с практической достоверностью, можно ожидать сколь угодно близкого совпадения частот появления события с его вероятностью». Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Моавру (1667 – 1754 г.г.) - обосновал своеобразный закон, очень часто наблюдаемый в случайных явлениях – так называемый Нормальный закон (иначе закон – Гаусса);П.Лапласу (1749-1827г.г.) - стройное и систематическое изложение основ теории вероятностей;К.Гауссу (1777-1855г.г.) – разработал метод обработки экспериментальных данных («метод наименьших квадратов»); С. Пуассону (1781-1840) – доказал общую форму закона больших чисел, впервые применил теорию вероятностей к задачам стрельбы и др. XVIII и начала XIX века В.Я. Буняковского (1804-1889г.г.) – автор первого курса теории вероятностей на русском языке; П. Л. Чебышева (1821—1894 г.г.) (расширил и обобщил закон больших чисел, ввёл мощный метод моментов различных порядков) и его учеников А.А.Маркова (1856—1922г.г.) , А.М.Ляпунова (1857—1918г.г.) В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие (XIX – XX века) обязано в первую очередь русским и советским математикам: С. Н. Бернштейн ; В. И. Романовский (1879-1954г.г.), А. Н. Колмогоров - дал наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей; А. Я.Хинчин (1894 – 1959г.г.) – множество работ в области исследования стационарных случайных процессов, Б. В. Гнеденко – работы в области тории массового облуживания; Н. В. Смирнов – работы в области математической статистики и др.), а также зарубежным математикам - Н.Винер, В. Феллер, Р.Фишер, Д.Нейман и др. – в основном работы в области случайных процессов и математической статистики.

2. Понятие события, примеры событий по степени их возможности появления. Виды случайных событий: совместные и несовместные, попарно совместные и попарно несовместные, полная группа событий – их примеры.

Каждая наука содержит ряд основных понятий, на которых она бази­руется. Такие основные понятия существуют и в

теории вероятностей. В качестве первого из них введем понятие события. Под «событием» понимается всякий факт,

который в результате опыта может произойти или не произойти. (примеры разных событий). Так или иначе ясно, что

каждое из таких событий обла­дает той или иной степенью возможности. События называют несовместными, если

появле­ние одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Пример 1. Из ящика с

деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали.

События «появилась стандартная деталь» и «появилась не­стандартная деталь»—несовместные. Пример 2. Брошена

монета. Появление «герба» исключает по­явление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» —

несовместные. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится, хотя бы одно из

них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности,

если события, образующие полную группу, попарно несов­местны, то в результате испытания появится одно и

только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку

используется далее. Пример 3. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и

только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый .билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал

на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти

события обра­зуют полную группу попарно несовместных событий. Пример 4. Стрелок произвел выстрел по цели.

Обязательно прои­зойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события

образуют полную группу. События называют равновозможными, если есть осно­вания считать, что ни одно из них не

является более возможным, чем другое. Пример 5. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты—

равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет

правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны

монеты. Пример 6. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости—равновозможные события.

Действительно, предпо­лагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму

правильного многогранника и наличие очков не оказы­вает влияния на выпадение любой грани.