3. Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Напомним, что основными свойствами логарифмов при , являются:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

№337(1).

Ответ: .

№357(1).

ОДЗ:

Ответ: .

К данному блоку относятся: №338, 337, 339, 342(2), 343 (5,6), 344, 347(2), 348, 349, 351, 352, 379(1-3), 380, 357, 363, 365(2), 382, 396, 397.

4. Логарифмирование обеих частей уравнения (неравенства) по одному основанию.

Уравнений и неравенств, решаемых данным методом в учебнике нет.

Пример. Решите уравнение: .

Решение: В силу условия существования степени с действительным показателем обе части данного уравнения положительны. Возьмём от обеих частей данного уравнения. Тогда в силу монотонности функции на положительной части числовой оси получаем:

Ответ:

5. Решение смешанных уравнений и неравенств.

Уравнений и неравенств данного вида в учебнике нет.

Пример. Решите уравнение: .

Решение: Преобразуем данное уравнение, используя свойства логарифмов:

Отметим, что в данном случае использование свойств логарифмов не изменяет области определения исходного уравнения. Далее решаем заменой и получаем:

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Ответ:

Пример. Решите неравенство: .

Решение: Область определения данного неравенства (ООН) задаётся системой неравенств Преобразуем данное неравенство, используя свойства логарифмов:

Отметим, что в данном случае использование свойств логарифмов не изменяет области определения исходного неравенства. Далее решаем заменой и получаем:

Осталось решить систему двух неравенств, учитывая ООН:

Ответ: .

Постановка учебных задач, диагностируемые цели

Учебные задачи темы:

1. Формирование представления о логарифме, логарифмических уравнениях и неравенствах;

2. Изучить логарифмическую функцию как математическую модель в процессах реальной действительности, рассмотреть её свойства и вид графика, связь с показательной функцией.

3. Выявить основные виды логарифмических уравнений и неравенств и способы их решения.

4. Выявление групп взаимосвязанных задач по теме.

Диагностируемые цели

В результате изучения темы ученик

Знает

1. Определение логарифма

2. Условия существования логарифма

3. Действие логарифмирования

4. Основное логарифмическое тождество

5. Свойства логарифмов

6. Понятия десятичного и натурального логарифмов

7. Понятие логарифмической функции

8. Свойства логарифмической функции

9. Вид графика логарифмической функции

10)Связь между показательной и логарифмической функциями

11)Виды логарифмических уравнений и неравенств и способы их решения

12)Понятие равносильного уравнения и неравенства

13)Понятие уравнения (неравенства)-следствия

Умеет

1. вычислять значение логарифма на основе определения и свойств

2. доказывать свойства логарифмов

3. Решать простейшие уравнения по определению логарифма

4. Доказывать свойства логарифмической функции

5. Применять свойства для решения задач

6. Строить график логарифмической функции, в том числе на основе преобразований

7. Читать график, исследовать на свойства

8. Решать логарифмические уравнения и неравенства разных видов, в том числе используя общие методы решения

9. Находить ОДЗ логарифмического уравнения и неравенства

Понимает

1. Связь между операциями возведения в степень, извлечения корня и логарифмированием

2. Теоретические основы доказательства свойств логарифмов

3. Что свойства являются формулой, которая действует в обе стороны

4. Теоретические основы доказательства свойств логарифмической функции

5. Какие реальные процессы описываются логарифмическими функциями

6. Вид графика логарифмической функции в зависимости от ее основания

7. Как график и свойства логарифмической функции могут быть поучены из показательной функции

8. Какие преобразования являются равносильными или приводят к посторонним корнями(решениям) или к потере корней (решений)

9. Существование нескольких подходов в решении логарифмических уравнений и неравенств: делать равносильные переходы, учитывать ОДЗ