2. Использование общих методов при решении логарифмических уравнений и неравенств

2.1. Разложение на множители. Метод интервалов

Два уравнения на этот метод.

№341(1)

Ответ:

№341(1,2).

Неравенств на данный метод нет.

Пример. Решите неравенство: .

Решение: Сгруппируем все члены неравенства в левой части и вынесем общий множитель за скобки. Тогда данное неравенство равносильно неравенству , которое в свою очередь равносильно совокупности систем неравенств:

Решение первой системы: в результате решений нет. Решение второй системы: .

Ответ: .

Пример. Решите неравенство: .

Решение: Область определения данного неравенства задаётся системой неравенств: Её решением являются промежутки . Далее для того, чтобы решить исходное неравенство методом интервалов, найдём корни уравнения . Ими являются числа и . Отмечаем на числовой оси область определения неравенства и найденные корни. Показываем интервалы возможного чередования знака выражения, стоящего в левой части данного неравенства. Расставляем знаки на полученных интервалах, учитывая тот факт, что при переходе через знак не будет чередоваться (кратный корень), а через - будет.

Получаем: .

Ответ: .

2.2. Введение нового неизвестного. Однородные уравнения

№379(4).

Ответ: x=4, x=8.

№351(1) – однородное уравнение.

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно функций , . Проверим, имеет ли решения система

Убеждаемся, что данная система не имеет решений. Тогда обе части данного уравнения можно разделить, например, .

В итоге получаем два уравнения.

Ответ: .

№364(1).

Ответ: нет решений.

Однородных неравенств нет.

К данному блоку относятся: №345(1-3), №348, №351(1), №352(1,2), №379(4), №364, №397, №406, №365(1).

2.3 Использование свойств функций.

Уравнений и неравенств на этот метод в учебнике нет.

Ограниченность области определения

Пример. Решите неравенство: .

Решение: Область определения данного неравенства задаётся системой неравенств Данная система не имеет решений, значит, исходное неравенство так же не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример. Решите уравнение:

.

Решение: Область определения данного уравнения задаётся системой неравенств Проверкой убеждаемся, что является корнем уравнения, а - нет.

Ответ: .

Ограниченность множества значений

Пример. Решите уравнение: .

Решение: Область определения данного уравнения задаётся системой неравенств На указанной области определения в силу возрастания функции (основание логарифма 10>1) , так как . Тогда левая часть данного уравнения всегда отрицательна. Правая же часть: , так как при получаем, что . Значит, данное уравнение не может иметь корни.

Ответ: корней нет.

В ходе решения примера 20, как и большинства предыдущих примеров, также использовалось свойство монотонности логарифмической функции: функция монотонно возрастает на положительной части числовой оси при , и монотонно убывает при .