- •1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Аксиоматическое определение вероятности
- •5. Условные вероятности
- •6. Независимые события
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли
- •9. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •10. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв.
- •12. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
- •13. Важнейшие непрерывные случайные величины
- •1 4. Математическое ожидание св.
- •15. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •16. Чх дискретных и непрерывных случайных величин
- •17. Случайные векторы. Фр случайного вектора и ее свойства.
- •18. Дискретные случайные векторы. Зр дискретного случайного вектора
- •19. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
- •20. Пример. (Равномерное распределение в области ).
- •21. Независимость случайных величин
- •22. Условные законы распределения и условные числовые характеристики
- •23. Числовые характеристики случайных векторов
- •24. Теоремы о числовых характеристиках
- •25. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью
- •26. Коэффициент корреляции его свойства
- •27. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение
- •28. Функции случайных аргументов
- •29. Композиция (свертка) законов распределения
- •30. Неравенство Чебышева
- •31. Законы больших чисел
- •32. Теорема 3 (збч для независимых, одинаково распределенных св).
- •33. Центральная предельная теорема
- •34. Теорема 2 (Ляпунова) (цпт для независимых, разнораспределенных св)
10. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв.
Определение. Случайная величина называется дискретной (ДСВ), если множество ее возможных значений конечно или счетно: или .
Для полной вероятностной характеристики ДСВ достаточно указать все ее возможное значения и вероятности , с которыми эти значения принимаются, . При этом, поскольку события , , образуют полную группу событий, то (условие нормировки). Подобную информацию о ДСВ записывают в виде таблицы:
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
|
|
|
|
|
|
которую называют законом распределения (ЗР) ДСВ или рядом распределения.
ЗР является более удобной и наглядной вероятностной характеристикой, чем ФР, и его задание полностью эквивалентно заданию ФР.
Действительно, ФР ДСВ определяется по ЗР (2.1) с помощью формулы: . (2.2)
В случае конечного числа значений ДСВ подробнее формула (2.2) выглядит следующим образом:
График ФР ДСВ является кусочно-постоянным со скачками в точках равными , . Это означает, что ЗР (2.1) по ФР (2.2) всегда можно однозначно восстановить.
Вероятность попадания ДСВ в любое множество В на числовой прямой определяется по формуле: .
Отметим, что через ФР вероятность в явном виде может и не выражаться.
|
С |
|
1 |
1. Вырожденная СВ. Любую константу С можно рассматривать как СВ, принимающую одно значение: для любого . Закон распределения вырожденной СВ имеет вид:
Выражение для ФР вырожденной СВ и ее график также имеют вырожденный вид:
2. Индикаторная СВ. С любым случайным событием А можно связать СВ вида: .
Случайная величина называется индикатором случайного события А или индикаторной СВ. Она принимает только два значения и , при этом , .
|
0 |
1 |
|
q |
p |
3
x
Множество возможных значений биномиальной СВ: .
Вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:
|
0 |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
Закон распределения имеет вид: и называется биномиальным законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из формулы Бернулли или непосредственно из бинома Ньютона: . Сокращенная запись для биномиальной СВ: .
4. Геометрическая СВ. Геометрической называется ДСВ , представляющая собой число испытаний, проводимых по схеме Бернулли, до появления первого успеха с вероятностью успеха в одном испытании равной р.
Геометрическая СВ имеет счетное множество возможных значений: .
Вероятности значений определяются по формуле: .
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
и называется геометрическим законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: .
Сокращенная запись для геометрической СВ: .
|
0 |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Число называется параметром пуассоновской СВ.
Закон распределения имеет вид:
и называется пуассоновским законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора:
. Сокращенная запись для пуассоновской СВ: .