- •1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Аксиоматическое определение вероятности
- •5. Условные вероятности
- •6. Независимые события
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли
- •9. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •10. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв.
- •12. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
- •13. Важнейшие непрерывные случайные величины
- •1 4. Математическое ожидание св.
- •15. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •16. Чх дискретных и непрерывных случайных величин
- •17. Случайные векторы. Фр случайного вектора и ее свойства.
- •18. Дискретные случайные векторы. Зр дискретного случайного вектора
- •19. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
- •20. Пример. (Равномерное распределение в области ).
- •21. Независимость случайных величин
- •22. Условные законы распределения и условные числовые характеристики
- •23. Числовые характеристики случайных векторов
- •24. Теоремы о числовых характеристиках
- •25. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью
- •26. Коэффициент корреляции его свойства
- •27. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение
- •28. Функции случайных аргументов
- •29. Композиция (свертка) законов распределения
- •30. Неравенство Чебышева
- •31. Законы больших чисел
- •32. Теорема 3 (збч для независимых, одинаково распределенных св).
- •33. Центральная предельная теорема
- •34. Теорема 2 (Ляпунова) (цпт для независимых, разнораспределенных св)
19. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
Определение. называется непрерывным ( ) (или имеющим непрерывный закон распределения), если существует такая функция , двух действительных переменных, что для любой точки ФР допускает представление: .(3.5) Функция при этом называется плотностью вероятностей
ПВ непрерывна на всей плоскости, за исключением, может быть, конечного числа точек.
Из определения (3.5) следует:
ФР является непрерывной по и по (как двойной интеграл);
2. ФР является дифференцируемой по и по во всех точках , являющихся точками непрерывности двумерной ПВ , и при этом имеет место равенство:
(3.6) (по свойствам двойного интеграла с переменными верхними пределами).
Вероятностный смысл двумерной ПВ.
Из (3.6), определения производной и свойства 6 двумерной ФР получаем, что
. Таким образом, плотность вероятностей - это предел отношения вероятности попадания непрерывного случайного вектора в прямоугольник со сторонами и , параллельными осям координат, к площади этого прямоугольника, когда длины обеих сторон стремятся к нулю.
При малых и можно также записать, что . (3.7)
Свойства плотности вероятностей случайного вектора :
1. . Поскольку ФР является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов, то ее производная из равенства (3.6) ■.
2. - условие нормировки. Из представления (3.5) следует, что , а в соответствии со свойством 4 двумерной ФР ■.
3. Вероятность попадания в любую область определяется формулой:
. Разобъем множество на элементарных непересекающихся прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат и равными и , . Так как в соответствии с (3.7)
и , то в силу аддитивности вероятности имеем: .
Последняя сумма является интегральной, и поэтому предельный переход при приводит к равенству ■.
4. Координаты с ПВ являются НСВ с ПВ соответственно (маргинальные ПВ), определяемыми формулами: , (3.8)
в точках непрерывности функций и Из представления (3.5) следует, что
. Дифференцируя обе части этого равенства по , в точках непрерывности функций и получаем: .
Аналогично, и после дифференцирования обеих частей последнего равенства по , имеем:
в точках непрерывности функций и .
Все приведенные выше определения и формулы для двумерного легко обобщаются на случай -мерного случайного вектора .
Определение. называется непрерывным ( ), если существует такая функция действительных переменных, что для любой точки ФР допускает представление:
.
Функция при этом называется плотностью вероятностей (ПВ) или многомерной ( -мерной) ПВ, или совместной ПВ СВ .
Во всех точках , являющихся точками непрерывности ПВ , имеет место равенство: .
Свойства многомерной плотности вероятностей :
1. .
2. - условие нормировки.
3. Вероятность попадания случайного вектора в любую область определяется формулой: ;
4. Если - с ПВ , то при любом также является непрерывным и имеет ПВ, определяемую формулой:
.