- •1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Аксиоматическое определение вероятности
- •5. Условные вероятности
- •6. Независимые события
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли
- •9. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •10. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв.
- •12. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
- •13. Важнейшие непрерывные случайные величины
- •1 4. Математическое ожидание св.
- •15. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •16. Чх дискретных и непрерывных случайных величин
- •17. Случайные векторы. Фр случайного вектора и ее свойства.
- •18. Дискретные случайные векторы. Зр дискретного случайного вектора
- •19. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
- •20. Пример. (Равномерное распределение в области ).
- •21. Независимость случайных величин
- •22. Условные законы распределения и условные числовые характеристики
- •23. Числовые характеристики случайных векторов
- •24. Теоремы о числовых характеристиках
- •25. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью
- •26. Коэффициент корреляции его свойства
- •27. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение
- •28. Функции случайных аргументов
- •29. Композиция (свертка) законов распределения
- •30. Неравенство Чебышева
- •31. Законы больших чисел
- •32. Теорема 3 (збч для независимых, одинаково распределенных св).
- •33. Центральная предельная теорема
- •34. Теорема 2 (Ляпунова) (цпт для независимых, разнораспределенных св)
8. Схема независимых испытаний Бернулли
Предположим, что некоторый эксперимент может повторяться при неизменных условиях сколько угодно раз, и эти повторения не зависят друг от друга. В этом случае говорят о проведении последовательности независимых испытаний. События являются независимыми в совокупности.
Простейшей является последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможно только 2 исхода: успех – У (1) и неуспех – Н (0). Последовательность независимых испытаний с двумя исходами называется схемой независимых испытаний Бернулли.
Обозначим вероятность успеха , а вероятность неуспеха .
При проведении n независимых испытаний по схеме Бернулли пространство элементарных событий имеет вид: ,
а вероятности элементарных событий в силу независимости испытаний вычисляются по формуле:
, то есть -.
В связи с рассмотрением схемы независимых испытаний Бернулли обычно представляют интерес события ={В n испытаниях наступило ровно m успехов}= = .
Обозначим вероятность и вычислим ее. Поскольку для любого вероятность , а общее количество исходов, содержащихся в , равно числу способов размещения m единиц в последовательности длины n из нулей и единиц, то . Таким образом,
.
Полученная формула называется формулой Бернулли. Она даёт выражение для вероятности наступления m успехов в n независимых испытаниях по схеме Бернулли с неизменной вероятностью успеха в одном испытании равной p и с вероятностью неуспеха равной q = 1 – p.
Поскольку события образуют полную группу событий, то . Тот же результат можно получить и на основании бинома Ньютона:
Исследуем поведение вероятностей в зависимости от m. Для этого вычислим отношение:
.
Отсюда следует, что вероятности возрастают, когда или, что эквивалентно, .
Вероятности убывают, когда или, что эквивалентно, .
И, наконец, , если .
Определение. Число успехов m = m0, при котором вероятности достигают максимума, называются наивероятнейшим числом успехов.
Из проведённых рассуждений следует, что наивероятнейшее число успехов m0 определяется из двойного неравенства: . При этом:
Если число нецелое, то существует одно наивероятнейшее число успехов: .
Если число целое, то существует два наивероятнейших числа успехов: и .
Если число целое, то .
Вычисления по формуле Бернулли при больших m и n весьма трудоёмкие. На практике в этом случае используют асимптотические приближения для вероятностей , основанные на предельных теоремах Пуассона и Муавра-Лапласа.
9. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
Случайная величина (СВ) – это числовая функция, значения которой заранее (до наблюдения) нельзя точно определить, то есть функция, зависящая от случайного исхода и принимающая свои значения с некоторыми вероятностями. Примеры СВ:
а) число пассажиров в автобусе (конечное число значений);
б) число вызовов на телефонной станции за время Т (счетное число значений);
в) время безотказной работы прибора за время Т (несчетное число значений).
Обозначают СВ прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их значения соответствующими строчными буквами x, y, z,….
Формальное определение СВ.
Определение. Случайной величиной называется функция X = X(ω), определенная на пространстве элементарных событий и принимающая действительные значения ( ).
Для того, чтобы определять вероятности событий, связанных со СВ, и делать это одним и тем же способом для любых СВ, в теории вероятностей вводится понятие функции распределения.
Определение. Функцией распределения СВ называется функция действительной переменной , определяемая при каждом х равенством: .
Геометрически функция распределения (ФР) означает вероятность попадания СВ левее заданной точки :
Свойства ФР.
1. для любого (свойство очевидно, так как - вероятность).
2. ФР является функцией неубывающей: .
▲ . Поэтому в силу свойства 6 вероятности ■.
3. . в силу свойства 5 вероятности.
в силу аксиомы нормированности ■.
4. ФР является функцией непрерывной слева, то есть для любого ,
где - предел слева ФР в точке х.
5. Для любого , где - предел справа ФР в точке х.
З амечание. Геометрически свойства 4 и 5 означают следующее. В точках , где ФР имеет разрыв 1 рода, то есть когда , значением ФР является левое (нижнее, меньшее). В точках непрерывности ФР свойства 4 и 5 содержательными не являются.
6. Вероятность попадания СВ в интервал определяется как приращение ФР на этом интервале: для любых .
▲ Поскольку событие и слагаемые в сумме являются несовместными, то в силу аддитивности вероятности или ■.
7. Для любого , где - величина скачка ФР в точке .
▲ Поскольку событие и слагаемые в сумме являются несовместными, то в силу аддитивности вероятности ,
а с учетом свойства 5 ФР ■.
С ледствие. Если ФР непрерывна в точке , то . Если ФР непрерывна для любого , то для любого .
8. . 9. .
10. .
В общем случае график ФР может иметь вид:
В приложениях, как правило, встречаются СВ, ФР которых являются либо везде кусочно-постоянными (дискретные СВ), либо везде непрерывными и даже гладкими (непрерывные СВ). В каждом из этих случаев существуют более удобные, чем ФР, вероятностные характеристики СВ.