23. Числовые характеристики случайных векторов

Основными ЧХ двумерного являются:

• математическое ожидание - вектор, координатами которого являются математические ожидания СВ и (характеризует координаты средней точки, около которой группируются другие значения вектора );

• дисперсия - вектор, координатами которого являются дисперсии СВ и (характеризует степень разброса (рассеивания) значений вектора около его среднего значения );

• корреляционный момент СВ и - МО произведения отклонений этих СВ относительно их МО: . (3.17)

Корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости между СВ и .

. . (3.18)

Корреляционный момент обладает следующими двумя очевидными свойствами:

1. ; 2. .

Благодаря этим свойствам, вектор дисперсий можно рассматривать как объединенную характеристику – корреляционную матрицу, элементами которой являются всевозможные корреляционные моменты: . имеет две основные ЧХ: (МХ,МУ) и кор-ую матрицу.

МО и ДХ могут быть вычислены по обычным формулам через одномерные ЗР СВ и .

Так, если - , где ,

, где .

Корреляционный момент вычисляется только по двумерному закону распределения:

если - , то ;

если - , то .

Свойства корреляционной матрицы.

1. Матрица является симметрической размера : , .

2. На диагонали матрицы расположены дисперсии координат : , .

3. Матрица является неотрицательно определенной матрицей, то есть для любого и для любых действительных чисел .

Иногда рассматривают нормированную корреляционную матрицу , элементами которой являются всевозможные попарные коэффициенты корреляции координат: . Отличие ее в том, что у нормированной корреляционной матрицы все диагональные элементы равны 1: .

Понятие о моментах

Наряду с рассмотренными выше ЧХ , в приложениях используются также и моменты более высоких порядков. Если задан , то величины

и называются начальными и центральными смешанными моментами порядка соответственно ( ).

В частности, .

24. Теоремы о числовых характеристиках

Теорема 1 (теорема сложения МО). МО суммы двух любых СВ и равно сумме их МО:

.

▲ Докажем теорему в непрерывном случае, в дискретном случае доказать самостоятельно.

Из обобщения ОТМО при имеем:

■. По индукции теорема 1 обобщается на сумму любого конечного числа СВ: .

Теорема 2 (теорема умножения МО).

МО произведения двух независимых СВ и равно произведению их МО: .

▲ Докажем теорему в непрерывном случае, в дискретном случае доказать самостоятельно.

Если НСВ и являются независимыми, то . Поэтому из обобщения ОТМО при имеем: ■.

По индукции теорема 2 обобщается на произведение любого конечного числа независимых (в совокупности) СВ: .