- •1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Аксиоматическое определение вероятности
- •5. Условные вероятности
- •6. Независимые события
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли
- •9. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •10. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв.
- •12. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
- •13. Важнейшие непрерывные случайные величины
- •1 4. Математическое ожидание св.
- •15. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •16. Чх дискретных и непрерывных случайных величин
- •17. Случайные векторы. Фр случайного вектора и ее свойства.
- •18. Дискретные случайные векторы. Зр дискретного случайного вектора
- •19. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
- •20. Пример. (Равномерное распределение в области ).
- •21. Независимость случайных величин
- •22. Условные законы распределения и условные числовые характеристики
- •23. Числовые характеристики случайных векторов
- •24. Теоремы о числовых характеристиках
- •25. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью
- •26. Коэффициент корреляции его свойства
- •27. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение
- •28. Функции случайных аргументов
- •29. Композиция (свертка) законов распределения
- •30. Неравенство Чебышева
- •31. Законы больших чисел
- •32. Теорема 3 (збч для независимых, одинаково распределенных св).
- •33. Центральная предельная теорема
- •34. Теорема 2 (Ляпунова) (цпт для независимых, разнораспределенных св)
20. Пример. (Равномерное распределение в области ).
Говорят, что имеет равномерное распределение в области , если его ПВ постоянна внутри области :
Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:
, то есть , где - площадь области .
а) Равномерное распределение в прямоугольнике.
Н епрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат, если его плотность вероятностей имеет вид:
Найдем одномерные ПВ координат .
В соответствии со свойством 4 двумерной ПВ .
Таким образом, то есть .
Аналогично, .
Таким образом, то есть .
б) Равномерное распределение в круге.
Н епрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в круге , если его плотность вероятностей имеет вид:
Найдем одномерные ПВ координат .
В соответствии со свойством 4 двумерной ПВ
.
Таким образом,
Аналогично .
Таким образом,
21. Независимость случайных величин
Известно, что события А и В являются независимыми, если . Аналогично определяется и независимость СВ и , только вместо событий А и В следует использовать события, связанные с этими СВ.
Определение. СВ и называются независимыми, если для любых имеет место равенство: или, . (3.9)
Если при каких-либо равенство (3.9) не выполняется, то СВ и являются зависимыми.
Таким образом, независимость СВ означает, что их совместная ФР равна произведению одномерных ФР и , или, как еще говорят, двумерная ФР факторизуется.
Установим условия независимости СВ в дискретном и непрерывном случаях.
Лемма 1. Пусть -ДСВ, принимающий значения с вероятностями , ; , - вероятности ,
- вероятности .
ДСВ и являются независимыми тогда и только тогда, когда при всех и , (3.10)
то есть вероятность факторизуется.(опр-е незав-ти дсв)
Если при каких-либо и равенство (3.10) не выполняется, то ДСВ и являются зависимыми.
Н еобходимость. Пусть дискретные случайные величины и являются независимыми. Тогда для любых .
Обозначим прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, который содержит точку и не содержит других значений ДСВ .
Тогда (по построению ) =
= (по свойству 4) =
= (в силу независимости случайных величин) = (по построению ),
то есть , и так можно сделать для любого значения .
Достаточность. Если выполняется равенство (3.10), то в соответствии с определениями ФР , имеем: , то есть ДСВ и являются независимыми ■.
Лемма 2. Пусть - , - его ПВ, и - одномерные ПВ его координат, определяемые по формулам (3.8).
НСВ и являются независимыми ттт,к (3.11) (опр-е нез-ти нсв)
для всех , являющихся точками непрерывности функций и , то есть двумерная ПВ факторизуется.
▲ Необходимость. Если НСВ и являются независимыми, то .
Дифференцируя это равенство по и по , получаем:
и, следовательно, в соответствии с определениями ПВ , и , справедливо равенство: в точках непрерывности функций и .
Достаточность. Проинтегрируем равенство (3.11) по первому аргументу в пределах от до и по второму аргументу в пределах от до . В результате получаем: . и, следовательно, в соответствии с определениями ФР , и для любых справедливо равенство: ,
то есть СВ и являются независимыми ■.
Леммы 1 и 2 показывают, что, если СВ и являются независимыми, то двумерный ЗР полностью определяется одномерными ЗР его координат (то есть понятие в этом случае вырождается).
Определение. СВ называются независимыми в совокупности, если для любого , для любого набора индексов и для любых
или ,
где – ФР СВ , то есть многомерная ФР факторизуется.
Для независимости в совокупности непрерывных случайных величин , имеющих плотности вероятностей , необходимо и достаточно, чтобы
, во всех точках непрерывности функций и , .