33. Центральная предельная теорема

Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных СВ с конечной дисперсией , - сумма первых СВ.

В соответствии с ЗБЧ (Теорема 3) или, .

Возникает вопрос: если при делении на мы получили в пределе 0, то не слишком ли на «много» мы поделили? Нельзя ли поделить на что-нибудь, растущее к медленнее, чем , чтобы получить в пределе не 0 (и не , естественно)? Оказывается, что уже последовательность СВ сходится не к 0, а к СВ, причем имеющей нормальный ЗР!

Теоремы, которые устанавливают нормальность предельного закона распределения суммы СВ называются центральными предельными теоремами (ЦПТ).

Теорема 1 (ЦПТ для независимых, одинаково распределенных СВ).

Пусть - последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию , - сумма первых СВ.

Тогда при равномерно по всем .

Учитывая, что , а , утверждение теоремы можно переписать в виде:

или , где - центрированная и нормированная сумма СВ ( , ); - ФР суммы ; - ФР стандартного нормального закона распределения .

Таким образом, стремление ЗР суммы СВ к нормальному ЗР следует понимать в смысле сходимости при ФР СВ к ФР СВ равномерно по всем значениям аргумента.

34. Теорема 2 (Ляпунова) (цпт для независимых, разнораспределенных св)

Пусть - последовательность независимых разно-распределенных СВ, имеющих конечные математические ожидания , дисперсии и центральные абсолютные моменты порядка при некотором и любом .

Обозначим - сумму первых СВ, , и .

Тогда, если (условие Ляпунова), то при равномерно по всем

. или ,

где - центрированная и нормированная сумма СВ; - ФР суммы ; - ФР стандартного нормального закона распределения .

Вероятностный смысл условия Ляпунова. Рассмотрим при события . Тогда

при , если условие Ляпунова выполнено.

Таким образом, если условие Ляпунова выполняется, то все слагаемые в центрированной и нормированной сумме равномерно малы в том смысле, что вероятность хотя бы одному из них превзойти величину стремится к нулю при возрастании числа слагаемых. Другими словами, влияние каждого слагаемого на всю сумму должно быть очень мало, для того, чтобы ЦПТ имела место.

Определение. Говорят, что СВ при асимптотически нормальна с параметрами (краткая запись: ), если ФР СВ сходится при к ФР стандартного нормального ЗР равномерно по всем .

С учетом этого определения утверждения Теорем 1 и 2 можно записать следующим образом.

Теорема 1. ; Теорема 2.

Прикладное значение ЦПТ состоит в следующем. Если СВ представляет собой сумму большого числа независимых СВ, то можно считать, что ее ЗР является нормальным, причем тип распределения слагаемых безразличен. Этим фактом и обусловлено широкое распространение на практике нормального ЗР.

Проиллюстрируем действие ЦПТ на сумме независимых, равномерно распределенных СВ . Обозначим - ПВ СВ , , - ПВ СВ .

С одной стороны, ПВ можно найти аналитически с помощью интеграла свертки (4.13):

.

Графически:

С другой стороны, поскольку , то в соответствии с ЦПТ СВ

имеет приблизительно нормальный ЗР с параметрами (0,1) или, что эквивалентно, СВ является асимптотически нормальной: . Последнее означает, что для ПВ справедливо приближенное равенство: . (4.19)

Оказывается, что уже при , точность приближения в равенстве (4.19) вполне пригодна для практического использования и это свидетельствует о достаточно быстрой скорости сходимости в ЦПТ. При утверждение ЦПТ принимает вид: . (4.20)

На последнем соотношении основан алгоритм получения значений стандартной нормальной СВ с помощью значений СВ , то есть с помощью датчика случайных чисел:

.

Заметим, что алгоритм моделирования стандартной нормальной СВ с помощью функции, обратной к ФР, неприменим, поскольку функция Лапласа не выражается через элементарные.