- •1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Аксиоматическое определение вероятности
- •5. Условные вероятности
- •6. Независимые события
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли
- •9. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •10. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв.
- •12. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
- •13. Важнейшие непрерывные случайные величины
- •1 4. Математическое ожидание св.
- •15. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •16. Чх дискретных и непрерывных случайных величин
- •17. Случайные векторы. Фр случайного вектора и ее свойства.
- •18. Дискретные случайные векторы. Зр дискретного случайного вектора
- •19. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
- •20. Пример. (Равномерное распределение в области ).
- •21. Независимость случайных величин
- •22. Условные законы распределения и условные числовые характеристики
- •23. Числовые характеристики случайных векторов
- •24. Теоремы о числовых характеристиках
- •25. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью
- •26. Коэффициент корреляции его свойства
- •27. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение
- •28. Функции случайных аргументов
- •29. Композиция (свертка) законов распределения
- •30. Неравенство Чебышева
- •31. Законы больших чисел
- •32. Теорема 3 (збч для независимых, одинаково распределенных св).
- •33. Центральная предельная теорема
- •34. Теорема 2 (Ляпунова) (цпт для независимых, разнораспределенных св)
29. Композиция (свертка) законов распределения
Часто на практике возникает задача определения ЗР СВ , являющейся суммой координат СВ . Если при этом одну из СВ интерпретировать как полезный сигнал, а вторую СВ как шум, то в приложениях эта задача известна как исследование модели «сигнал + шум».
Применяя формулы (4.8) и (4.9) для функции получаем следующие результаты.
Если - ДСВ, принимающий конечное число значений с вероятностями , , то – ДСВ и ее возможными значениями , , являются различные среди значений . Вероятности значений определяются по формуле:
, (4.10) (при этом предполагается, что вероятность , если ни при каком j, и аналогично вероятность , если ни при каком i).
Если - НСВ с ПВ , то СВ является непрерывной и ФР СВ имеет вид:
а, после расстановки пределов по области ,
Дифференцируя обе части последнего равенства по , получаем:
(4.11) (в точках непрерывности ПВ , и ).
Если дополнительно известно, что координаты СВ являются независимыми СВ, то:
СВ является дискретной, если и - ДСВ, и имеет ЗР, определяемый в соответствии с (4.10) вероятностями:
, (4.12)
(при этом предполагается, что вероятность , если ни при каком j, и аналогично вероятность , если ни при каком i).
СВ является непрерывной, если и - НСВ, и имеет в соответствии с (4.11) ПВ: (4.13) где и - ПВ СВ и
СВ является непрерывной, если - дискретная а - непрерывная СВ, и имеет ПВ: , (4.14) где и , - значения СВ и соответствующие им вероятности, а - ПВ СВ .
Получается данный результат комбинированием дискретного и непрерывного случаев. Вначале находится ФР НСВ с учетом независимости СВ и :
,
а затем дифференцированием по получаем для ПВ выражение (4.14).
Задача определения ЗР суммы независимых СВ по ЗР слагаемых в теории вероятностей называется задачей композиции ЗР, а в функциональном анализе – сверткой функций. По этой причине формулу (4.13) кратко можно записать в виде (где означает операцию свертки), а интегралы в ней называют интегралами свертки.
Замечание. Все результаты, полученные для двумерного СВ, без труда обобщаются и на многомерный случай.
Пример. Пусть , и СВ и независимы. Найти ПВ СВ .
Решение. Для простоты положим . Тогда, в соответствии с интегралом свертки (4.13), имеем:
(при этом был использован тот факт, что - интеграл Пуассона)
Таким образом, СВ .
В общем случае, когда , СВ .
По индукции можно доказать, что если СВ независимы (в совокупности) и , то СВ их любая линейная комбинация также имеет нормальный ЗР:
30. Неравенство Чебышева
Получим вначале некоторые оценки для распределений СВ.
Лемма. Если неотрицательная СВ имеет конечное математическое ожидание , то для любого справедливо неравенство: .
▲ Докажем лемму для НСВ . По определению математического ожидания НСВ
■.
Следствие (неравенство Чебышева). Если СВ имеет конечную дисперсию , то для любого справедливы следующие неравенства:
; (4.15) .
▲ В соответствии с леммой ,
что доказывает неравенство (4.15).
Неравенство Чебышева имеет большое теоретическое и практическое значение. Оно дает простую оценку для вероятности отклонения СВ с произвольным ЗР от ее математического ожидания. Причем, если о СВ, кроме ее математического ожидания и дисперсии ничего не известно, то эту оценку улучшить нельзя (существует пример СВ, для которой в (4.15) достигается равенство). Если же есть дополнительная информация о СВ (например, известен ее ЗР), то оценки (4.15) и могут быть существенно улучшены.
Виды сходимости последовательностей случайных величин и связь между ними
Определение. Говорят, что последовательность СВ сходится по вероятности к величине (случайной или нет), если для любого или (экв)
Краткое обозначение сходимости по вероятности: .
Определение. Говорят, что последовательность СВ сходится в среднем квадратическом к величине (случайной или нет), если .
Краткое обозначение сходимости в среднем квадратическом: или
Лемма. Если последовательность СВ сходится к величине в среднем квадратическом, то она сходится к этой величине и по вероятности: .
▲ В силу неравенства Чебышева .
Поэтому, если , то и, следовательно, для любого , поскольку вероятность не может быть отрицательной (лемма о двух милиционерах) ■.
Смысл леммы: сходимость в среднем квадратическом является более сильной, чем сходимость по вероятности. Обратное неверно: из сходимости по вероятности сходимость в среднем квадратическом не следует.
Смысл введенных видов сходимостей последовательностей СВ: понятие предела определено только для числовой последовательности, поэтому случайность под знаком предела должна быть ликвидирована. Это делается либо с помощью вероятности, либо с помощью математического ожидания со своим понятием близости между и .