2. Классическое определение вероятности.

На самом деле это не определение, а метод вычисления вероятностей событий во вполне определенных и сильно ограниченных условиях.

Говорят, что случайный эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности (или классической вероятностной схеме), если:

• пространство элементарных событий состоит из конечного числа исходов ;

• из соображений симметрии можно считать, что все элементарные исходы эксперимента являются равновозможными (т. е. ни один из исходов не имеет предпочтения перед другими).

Согласно классическому определению вероятности вероятность любого события , равна отношению числа исходов , благоприятствующих событию , к общему числу исходов :

Свойства вероятности, непосредственно вытекающие из классического определения вероятности:

1°. для любого события А (доказательство очевидно).

2°. (доказательство очевидно).

3°. Если события и несовместны , то .

▲ Пусть событию А благоприятствует исходов, а событию В - исходов. Поскольку события А и В являются несовместными (т.е. не имеют общих исходов), то сумме благоприятствует исходов. Поэтому .■

Исходя из свойств 1  3 (и только!!!) вытекают также следующие свойства вероятности:

4°. . Поскольку события образуют полную группу событий ( ), то из свойств 2° и 3° .■

5°. .Следует из свойств 2° и 4°, поскольку события .■

6°. . Представим событие В в виде: . Поскольку события являются несовместными, то из свойств 1° и 3° имеем: .■

7°. .Следует из свойств 2°, 5° и 6°, так как (в частности, свойство 7° означает, что измерять вероятность в процентах некорректно).

понятия комбинаторики.

Размещением из N элементов некоторого множества по M элементов называется любой упорядоченный набор из M элементов данного множества. Число всех размещений равно .

Если в упорядоченном наборе элементы могут повторяться, то этот набор называется размещением с повторениями. Число размещений с повторениями: равно .

Перестановкой из N элементов некоторого множества называется размещение из N элементов по N. Число всех перестановок равно .

Сочетанием из N элементов некоторого множества по M элементов называется любое подмножество мощности M. Число всех сочетаний равно .

Пример 2 (Урновая схема).

В урне находится N шаров, из которых M  белые. Из урны наугад извлекается n шаров. Какова вероятность того, что среди выбранных шаров окажется ровно m белых.

Решение. Исходами в данном эксперименте являются любые подмножества, содержащие n шаров, и они являются равновозможными (за счет слова «наугад»). Число всех исходов равно числу сочетаний из N по n: . Каждый набор шаров, входящий в интересующее нас событие, состоит из m белых шаров, которые можно выбрать из M белых способами. Независимо от выбора белых шаров, небелые шары можно выбрать способами. Поэтому общее число благоприятных исходов равно . Из этого следует, что _.

3. Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения вероятности на случай, когда множество равновозможных исходов бесконечно.

Говорят, что случайный эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, если:

• исходы эксперимента можно изобразить точками некоторой области , имеющей конечную меру ;

• можно считать, что попадание точки в любые области , имеющие одинаковую конечную меру , равновозможно и не зависит от формы и расположения внутри . При этом говорят, что точка равномерно распределена в области или бросается в область наудачу.

Согласно геометрическому определению вероятности вероятность попадания точки в любую область (событие ) пропорциональна ее мере и равна: .

В частности:

п ри под мерой понимается длина подмножества на прямой и ;

при под мерой понимается площадь подмножества на плоскости и ;

при под мерой понимается объем подмножества на пространстве и .

Из геометрического определения вероятности вытекают следующие свойства вероятности.

Следовательно, справедливы и свойства вероятности 4° – 7°, доказательство которых в классическом определении вероятности, основывалось только на свойствах 1° – 3°.

Пример.

На обслуживающее устройство в промежутке времени равновозможно поступление двух заявок. Время обслуживания одной заявки равно . Если очередная заявка поступает в момент занятости устройства обслуживанием предыдущей, то она теряется. Найти вероятность потери заявки.

Решение. Обозначим t1, t2  моменты поступления заявок. Тогда Интересующее нас событие А имеет вид: . Поэтому (см. рисунок) .