Контрольные задания

1. Дайте определение понятия «линейная система». Приведите примеры линейных систем.

2. Поясните суть принципа суперпозиции.

3. Дайте определение понятия «динамическая система».

4. Объясните физический смысл весовой функции.

5. Приведите характеристики линейной динамической системы.

6. Выведите интеграл Дюамеля, запишите различные его формы.

7. Укажите, каким соотношением связаны весовая и переходная функции.

8. Назовите основные свойства линейной динамической системы.

9. Поясните, что представляет собой модель сигнала.

10. Дайте определение понятия «спектр сигнала».

11. Приведите определение понятия «комплексный коэффициент передачи».

12. Раскройте связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

13. Охарактеризуйте случайный процесс.

14. Объясните различие между понятиями «спектральная плотность» и «спектральная функция».

15. Назовите и объясните основные свойства спектральных плотностей.

Глава 4 непараметрические модели линейных динамических систем

Далее будет описан непараметрический подход к моделированию линейных динамических систем, предполагающий представление моделей ЛДС в виде интеграла свертки и интегрального уравнения Винера–Хопфа, и затронуты аспекты оптимизации моделей. Процедуры моделирования даются как с применением стандартных тестовых входных сигналов, так и в режиме нормальной эксплуатации объектов моделирования.

4.1. Постановка задачи идентификации линейных динамических систем

Идентификация линейного динамического объекта в общем виде может быть представлена следующим образом (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Схема идентификации линейного динамического объекта

На схеме приняты следующие обозначения: Объект – линейный динамический стационарный объект, на который действует ненаблюдаемое случайное воздействие ; – входные переменные объекта;  – выходные переменные объекта; – соответствующие наблюдения переменных процесса, которые далее будем обозначать ; – случайные помехи в каналах измерения, такие что ; – выход модели объекта. Доступная априорная информация содержит только выборки измерений входных и выходных переменных объекта, данные о структуре объекта отсутствуют. Необходимо построить математическую модель стохастического объекта, адекватно описывающую его поведение при произвольном входном воздействии.

Линейные динамические объекты могут быть заданы различными способами: системами обыкновенных дифференциальных уравнений, системами уравнений в частных производных, которые могут быть аппроксимированы обыкновенными дифференциальными уравнениями, содержащими только производные по времени, или системами разностных уравнений на детерминированной или стохастической основе, в которых динамические свойства объектов определяются производными по времени или соответствующими им разностными выражениями. Эти способы описания позволяют получать обобщенные зависимости, характеризующие поведение объектов в динамических режимах.

В настоящее время существует большое количество методов построения моделей, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки, и выбор конкретного метода зависит от полноты сведений об исследуемом процессе и случайных помехах, действующих на объект и в каналах связи. Такую информацию об объекте называют априорной. В зависимости от объема априорная информация имеет четыре уровня:

– уровень полной информации об исследуемом процессе, когда точно известны модель объекта, законы распределения помех и уравнения каналов измерения;

– уровень неполной информации об исследуемом процессе, когда параметры модели и параметры плотности вероятности помех неизвестны;

– уровень параметрической неопределенности, когда вид оператора объекта задан с точностью до набора параметров, а плотности вероятности помех неизвестны;

– уровень непараметрической неопределенности, когда вид оператора объекта не задан, а известны лишь некоторые качественные свойства исследуемого процесса.

В дальнейшем мы будем рассматривать постановку задачи идентификации ЛДС при непараметрической неопределенности.