6. Зависимость вероятности безотказной работы и интенсивности отказов
,где w(t)- плотность вероятности моменты первого отказа
Р(t)-вероятность безотказной работы
На практике интенсивность отказов оценивается как кол-во отказов в Единцу времени(на заданном временно интервале).
Проинтегрируем обе части в пределе от нуля до t, тогда
Тогда
Это соотношение даёт четкое взаимное соответствие между вероятностью безотказной работы и интенсивностью отказов.
7. Распределение Вейбулла.
Распределение Вейбулла.
Двухпараметрическое экспоненциальное распределение Вейбулла используется для описания вероятности безотказной работы P(t)
Воспользуемся найдем плотность вероятностей момента первого отказа:
Найдем интенсивность отказа:
(11) – соотношение для описания интенсивности отказа в распределении Вейбулла, где - параметр формы.
1) , то уменьшается, соответствует интервалу приработки
2) , то , соответствует этапу эксплуатации системы
3) , то возрастает, соответствует этапу износа конструкции.
8. Экспоненциальное распределение. Его особенности.
Экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы является частным случаем распределения Вейбулла при
Определяется одним параметром
Экспоненциальное распределение позволяет описать вероятность безотказной работы на этапе эксплуатации системы. Для экспоненциального распределения .
Найдем для экспоненциального распределения среднее время наработки до первого отказа используя соотношение
Для экспоненциального распределения среднее время наработки и интенсивность отказа связаны зависимостью (14). [1/час] [кол-во отказов/час].
Особенности экспоненциального распределения.
Из соотношения , учтя , получим . .
Для экспоненциального распределения время нормальной эксплуатации меньше среднего времени наработки до первого отказа. Найдем для экспоненциального распределения
Учитывая вероятность безотказной работы на интервале определяется лишь длиной интервала и не зависит от начала отсчета, т.е. t может иметь любые значения.
Экспоненциальное распределение не учитывает фактор старения, оно является идеализированной моделью, которая лишь с некоторым приближением позволяет оценить вероятность появления внезапных отказов, поэтому экспоненциальное распределение используется в основном в априорной теории надежности для сравнительной оценки разрабатываемых/проектируемых вариантов технических решений.
Основное достоинство – простота расчетов. Использование экспоненциального распределения в апостериорной теории надежности возможно лишь при проверке результатами испытаний данных полученных при использовании экспоненциальных распределений.
9.Последовательное соединение элементов.
Система называется последовательной,
если отказ одного элемента приводит к
отказу всей системы, т.е. каждый элемент
является основным, n –
минимальное необходимое количество
элементов. Последовательная система
работоспособна, если работоспособен
каждый ее элемент.
Рассмотрим событие А: система из n последовательных элементов работоспособна на интервале (0,t). Элементарное событие Аi: работоспособен i-й элемент системы на интервале (0,t).
Вероятность безотказной работы
на интервале (0,t).
Полагаем, что элементы функционируют
независимо, отказы их независимы, найдем
вероятность безотказной работы
и
- вероятность отказа системы последовательно
соединенных элементов:
Вероятность отказа:
Интенсивность отказов системы последовательно соединенных элементов.
Для каждого ЭРЭ заданна
интенсивность отказов
тк
Для системы последовательно соединенных элементов интенсивность отказов системы равна сумме интенсивностей отказов отдельных элементов, входящих в систему. Это соотношение Широко используется в расчетах априорной теории надежности на этапе проектирования конструкций.