17. Достаточное условие экстремума

достаточным условием экстремума функции нескольких переменных в ее стационарной точке является знакоопределенность (положительная или отрицательная определенность) дифференциала 2–го порядка в этой точке.

Достаточное условие экстремума: Если при переходе через стационарную точку производная меняет знак, то эта точка является экстремумом. Если меняет знак с «+» на «-», то это точка максимума. Если меняет знак с «-» на «+», то это точка минимума. Если при переходе через стационарную точку производная не меняет знак, то эта точка не является экстремумом. Очевидно, что точки, в которых функция принимает максимальное значение на некотором промежутке нужно искать среди точек максимума. А точки, в которых функция принимает минимальное значение - среди точек минимума. Однако нельзя забывать, что максимальное (минимальное) значение функция может принимать и на концах промежутка.

18. Определения выпуклости, вогнутости графика функции. Сформулировать достаточное и необходимое условия выпуклости и вогнутости.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).

19. Определение точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба

Необходимое условие перегиба графика функции. Пусть график функции y = f(x) имеет перегиб в точке   и имеет при   непрерывную вторую производную, тогда выполняется равенство 

Определение

Точка перегиба функции   внутренняя точка   области определения  , такая что   непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и   является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.

20. Определение точек, «подозрительных на перегиб». Достаточное условие точки перегиба

достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x₀) = 0 или f ''(x₀) не существует и при переходе через значение x = x₀производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Не все точки x, в которых y′′=f′′(x)=0 или y′′=f′′(x) не существует, непременно должны быть точками перегиба. Точками перегиба будут лишь те из них, в которых вторая производная y′′=f′′(x) меняет знак (с (+) на (–) или с (–) на (+)). Таким образом, точки оси ох, в которых y′′=f′′(x)=0 или y′′=f′′(x) не существует, являются лишь подозрительными на перегиб.