9. Понятие дифференциала функции, его формы записи.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х.                                             (24.1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх,                                              (24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

10. Геометрический смысл и свойства дифференциала.

Геометрический смысл дифференциала

Пусть дана кривая y=f(x). Точка М на кривой соответствует значению аргумента x, а точка Р-(x+ x). МТ - касательная к кривой y=f(x) в точке М. Очевидно, что  y=PN и  , откуда вытекает, что величины PN и KN, вообще говоря, различны, ибо если  y есть прира-  щение ординаты кривой, то dy является соответственным приращением ординаты касательной.

Свойства дифференциала.

  Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

 

1)      d(u  v) = (u  v)dx = udx  vdx = du  dv

 

2)      d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv

 

3)      d(Cu) = Cdu

 

4)        

5)   y=f(z),   ,   ,

11. Производные высших порядков. Вторая производная функции, заданной параметрически

Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"

Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной  (n-1) порядка:

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1)) .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у^ν или у⁽⁵⁾— производная пятого порядка).

Вторая производная функции, заданной параметрически

   Теперь найдем вторую производную от функции, заданной в параметрической форме.    Из предидущего уравнения и определения второй производной следует, что

   но

   Следовательно

   где