- •Математические осноывы цифровой обработки сигналов.
- •Логические функции.
- •1.2 Некоторые логические функции и реализующие их логические элементы.
- •1.3 Структурные формулы.
- •1.4 Основные соотношения и законы алгебры логики.
- •Упрощение структурных формул на основе карт Карно.
- •Понятие базиса.
- •Запись структурных формул в универсальных базисах.
- •1.8 Неполностью определенные логические функции и их минимизация.
- •1.9 Постановка задачи синтеза комбинационных устройств.
- •1.10 Синтез комбинационных устройств (ку) с одним выходом.
Запись структурных формул в универсальных базисах.
ЗАПИСЬ В БАЗИСЕ И-НЕ.
Эту запись целесообразно выполнять в следующей последовательности:
Минимизированная в базисе И, ИЛИ, НЕ структурная формула представляется в виде ДНФ (логической суммы произведений).
Над полученным выражением ставятся два знака инверсии, и с помощью формул де Моргана осуществляется переход в базис И-НЕ.
В отдельных случаях находят применение следующие формулы:
☼
☼
☼
☼ доказательство первое тождество
Пример.
Задана логическая функция 4-х переменных.
X1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
X2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
X3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
X4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
F |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Требуется получить минимизированную структурную формулу и записать ее в базисе И-НЕ.
1.Составим карту Карно:
1 Х 0 0 0 1 х 1 х 0 х 0
Получим минимизированную структурную формулу. Ставим два знака инверсии над правой частью полученной формулы и выполняем преобразование на основе формулы де Моргана:
Таким образом избавились от операций ИЛИ. Теперь надо упростить это выражение используя формулы ☼.
Получим:
В том случае, когда под инверсией находится 3 переменные, нужно использовать:
ЗАПИСЬ В БАЗИСЕ ИЛИ-НЕ.
Преобразование записи структурной формулы к этому базису целесообразно выполнять в следующей последовательности:
Минимизированная в базисе И, ИЛИ, НЕ структурная формула представляется в виде логического произведения сумм, называемого чисто конъюктивной нормальной формой КНФ.
Над правой частью полученной формулы ставится два знака инверсии, и с помощью формул де Моргана осуществляется переход в базис ИЛИ-НЕ.
В отдельных случаях применяются следующие формулы:
☼
Доказательство:
☼
☼
☼
Доказательство:
Пример.
Задана логическая функция 4-х переменных:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
X1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
X2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
X3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
X4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Требуется получить минимизированную структурную формулу и записать ее в базисе ИЛИ-НЕ.
Если задан базис ИЛИ-НЕ, то в карте Карно целесообразно использовать нулевые наборы.
Составим карту Карно:
Инверсия ставится там, где Хi = 1.
Тогда:
Выполняем преобразование на основе формул де Моргана:
Используя избавляемся от инверсии
ЗАПИСЬ В БАЗИСЕ И-ИЛИ-НЕ.
В данном случае целесообразна следующая последовательность получения структурной формулы в этом базисе:
1. Структурная формула для инверсного значения логической функции
минимизируется в базисе И, ИЛИ, НЕ и представляется в виде дизъюнктивной нормальной форме.
Для перехода к базису И-ИЛИ-НЕ над обеими частями структурной формулы ставится знак инверсии.
Для преобразования в базисе И-ИЛИ-НЕ применяются соотношения:
☼
☼ , где Z — любая функция.
Пример.
Логическая функция 4-х переменных задана таблицей истинности:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
X1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
X2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
X3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
X4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Составим карту Карно:
Карту Карно для единичных наборов инверсного значения логической функции можно получить заменив 0 на 1 в клетках карты, и наоборот:
Получаем следующее выражение в виде ДНФ:
Если поставить инверсию над обеими частями полученного выражения, то перейдем к базису И-ИЛИ-НЕ.
; .
Воспользовавшись тождествами ☼ окончательно получим:
Преобразуем первое слагаемое.
Преобразуем второе слагаемое.
Тогда
Наиболее предпочтительная форма представления функции зависит от возможностей системы элементов принятой за базовую. При этом в каждом конкретном случае необходимо учитывать следующие обстоятельства:
Какова общая задержка сигналов в полученной схеме.
Каково общее число входов для переменных.
Были ли требуемые значения переменных (прямые или инверсные) сформированы ранее.
Какое количество корпусов интегральных схем требуется для реализации.